Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e g(t)=3 t i-2 j+4 t^2 k. Calcular:
lim t 1[f(t) cdot g(t)]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, f(t) e g(t), e precisamos calcular o limite quando t se aproxima de 1 do produto escalar delas, ou seja, lim t 1[f(t) cdot g(t)]. A matéria envolvida aqui é cálculo vetorial, especificamente o produto escalar e o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar entre dois vetores. O produto escalar, ou produto interno, de dois vetores A = Ax i + Ay j + Az k e B = Bx i + By j + Bz k é dado por:
A cdot B = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Isso significa que a gente multiplica as componentes correspondentes dos vetores e soma os resultados.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso às nossas funções vetoriais f(t) e g(t). Temos:
f(t) = t i + 2t^2 j + 3t^3 k
g(t) = 3t i - 2 j + 4t^2 k
Vamos calcular o produto escalar f(t) cdot g(t):
f(t) cdot g(t) = (t)(3t) + (2t^2)(-2) + (3t^3)(4t^2)

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
f(t) cdot g(t) = 3t^2 - 4t^2 + 12t^5
f(t) cdot g(t) = -t^2 + 12t^5

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite dessa expressão quando t se aproxima de 1:
limt 1 (-t^2 + 12t^5) = - (1)^2 + 12(1)^5 = -1 + 12 = 11

Resposta

11

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