Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e g(t)=3 t i-2 j+4 t^2 k. Calcular:
lim t 1[f(t) times g(t)]

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções vetoriais:
f(t) = t, i + 2t^2, j + 3t^3, k
g(t) = 3t, i - 2, j + 4t^2, k
A pergunta quer que a gente calcule o limite quando limt 1 [f(t) times g(t)] se aproxima de 1 do produto vetorial dessas duas funções, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial de dois vetores e como aplicar o limite em funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial A times B = (Ay Bz - Az By), i - (Ax Bz - Az Bx), j + (Ax By - Ay Bx), k . O produto vetorial entre dois vetores f(t) = t, i + 2t^2, j + 3t^3, k e g(t) = 3t, i - 2, j + 4t^2, k é dado por:
Ay Bz - Az By = (2t^2)(4t^2) - (3t^3)(-2) = 8t^4 + 6t^3
Aplicando isso nas nossas funções:
-(Ax Bz - Az Bx) = -[t cdot 4t^2 - 3t^3 cdot 3t] = -[4t^3 - 9t^4] = -4t^3 + 9t^4
Ax By - Ay Bx = t cdot (-2) - 2t^2 cdot 3t = -2t - 6t^3
Vamos identificar os componentes:
  • f(t) times g(t) = (8t^4 + 6t^3), i + (-4t^3 + 9t^4), j + (-2t - 6t^3), k , ,
  • , ,
Agora, calculamos cada componente do produto vetorial:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, o produto vetorial fica:

Passo 3

Agora que temos o produto vetorial, vamos calcular o limite quando limt 1 [f(t) times g(t)] = limt 1 ( (8t^4 + 6t^3), i + (-4t^3 + 9t^4), j + (-2t - 6t^3), k ) se aproxima de 1:
8(1)^4 + 6(1)^3 = 8 + 6 = 14
Como as funções são polinomiais e contínuas, podemos simplesmente substituir -4(1)^3 + 9(1)^4 = -4 + 9 = 5 :
  • Para -2(1) - 6(1)^3 = -2 - 6 = -8 :
  • Para :
  • Para :

Resposta

limt 1 [f(t) times g(t)] = 14, i + 5, j - 8, k

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