Sejam A e B pontos distintos e seja o ponto médio de AB. Mostre que, se é um ponto qualquer, então: .

Passo 1

Então, a gente tem dois pontos, A e B, que são diferentes um do outro. M é o ponto que está exatamente no meio entre A e B. A gente quer mostrar que, para qualquer ponto P, a soma dos vetores de P para A e de P para B é igual ao dobro do vetor de P para M. Pra fazer isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre vetores e ponto médio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor. Um vetor é uma quantidade que tem direção e magnitude, ou seja, ele aponta de um lugar para outro e tem um tamanho. No nosso caso, é o vetor que vai de P até A, e vai de P até B.

Passo 3

Como M é o ponto médio de AB, isso significa que M está exatamente no meio de A e B. Matematicamente, podemos escrever isso como:
Ou seja, o vetor de A para M é igual ao vetor de M para B.

Passo 4

Agora, vamos expressar o vetor usando os vetores que já conhecemos. Sabemos que:
Substituímos por (já que são iguais):

Passo 5

Daí, a gente pode reescrever como:
Mas, como , substituímos novamente:
E sabemos que , então substituímos:
Simplificando:

Resposta

Assim, mostramos que:

Exercícios relacionados

Sejam e .
(a) Os pontos e são coplanares?
Verifique se os seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais com as operações usuais do ambiente. Justifique suas respostas: g) ;
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (elipsoide)
Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da quádrica que ela representa utilizando o GeoGebra (ou qualquer outro aplicativo de preferência): (paraboloide hiperbólico)