Reescreva cada uma das sentenças abaixo de modo que o símbolo de negação apareça somente dentro de predicado, ou seja, de modo que nenhuma negação esteja à frente de um quantificador ou de uma proposição envolvendo operadores lógicos.

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL FACULDADE DE COMPUTAÇÃO

neg forall x(exists y forall z P(x, y, z) wed>= exists z forall y P(x, y, z)) forall y P(x, y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever uma sentença lógica de forma que a negação (¬) apareça só dentro dos predicados, não na frente de quantificadores (, ) ou de operadores lógicos (, ). A matéria que estamos lidando aqui é lógica matemática, especificamente a manipulação de negações em fórmulas lógicas. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de De Morgan e as regras de negação de quantificadores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a sentença original:
neg forall x(exists y forall z P(x, y, z) wed>= exists z forall y P(x, y, z)) forall y P(x, y)
Nossa meta é mover a negação para dentro dos predicados. Para isso, vamos usar algumas regras de negação:
  1. A negação de “para todo” () vira “existe” ().
  2. A negação de “existe” () vira “para todo” ().
  3. A negação de uma conjunção () é a disjunção das negações ().
  4. A negação de uma disjunção () é a conjunção das negações ().

Passo 3

Vamos começar aplicando a negação no quantificador universal externo ∀ x. Segundo a regra, ¬∀x vira ∃x¬. Então, temos:
exists x neg (exists y forall z P(x, y, z) wed>= exists z forall y P(x, y, z)) forall y P(x, y)

Passo 4

Agora, precisamos lidar com a negação dentro dos parênteses que envolve uma conjunção (). Usando a regra de De Morgan, ¬(A ∧ B) vira ¬A ∨ ¬B. Aplicando isso:
exists x (neg exists y forall z P(x, y, z) vee neg exists z forall y P(x, y, z)) forall y P(x, y)

Passo 5

Vamos agora tratar cada uma das negações dentro das disjunções individualmente. Primeiro, ¬∃ y ∀ z P(x, y, z). Segundo a regra, ¬∃ y vira ∀ y ¬. Então:
forall y neg forall z P(x, y, z)
E ¬∃ z ∀ y P(x, y, z) vira:
forall z neg forall y P(x, y, z)
Substituindo de volta na sentença principal:
exists x (forall y neg forall z P(x, y, z) vee forall z neg forall y P(x, y, z)) forall y P(x, y)

Passo 6

Agora, vamos tratar as negações ¬∀ z P(x, y, z) e ¬∀ y P(x, y, z). Pelo mesmo princípio, ¬∀ vira com a negação dentro:
forall y exists z neg P(x, y, z)
e
forall z exists y neg P(x, y, z)
Substituindo na sentença principal:
exists x (forall y exists z neg P(x, y, z) vee forall z exists y neg P(x, y, z)) forall y P(x, y)

Resposta

Então, a sentença reescrita com a negação apenas dentro dos predicados fica:
exists x ( forall y exists z neg P(x, y, z) vee forall z exists y neg P(x, y, z) ) forall y P(x, y)

Exercícios relacionados