Use regras de inferência para mostrar que, para cada conjunto de premissas dado, a conclusão é válida:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de premissas e precisa mostrar que uma certa conclusão é verdadeira com base nelas. A matéria aqui é Lógica de Primeira Ordem, especificamente usando regras de inferência para provar a validade da conclusão. Vamos precisar entender os quantificadores universais (), as operações lógicas como (ou), (e), (implica), e as negações (¬). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as premissas e a conclusão que precisamos provar:
  1. Premissa 1:
    Isso significa que, para todo elemento x, ou P(x) é verdadeiro ou Q(x) é verdadeiro.
  2. Premissa 2:
    Isso quer dizer que, para todo x, se P(x) não é verdadeiro e Q(x) é verdadeiro, então R(x) é verdadeiro.
Conclusão que precisamos provar:

Ou seja, para todo x, se R(x) não é verdadeiro, então P(x) é verdadeiro.

Passo 3

Vamos começar aplicando a instanciação universal, que nos permite substituir o x por um elemento arbitrário. Vamos chamar esse elemento de a.
Então, temos:
  1. Queremos provar:

Passo 4

Vamos usar o contrapositivo na conclusão que queremos provar. O contrapositivo de uma implicação A → B é ¬B → ¬A, e eles são logicamente equivalentes. Então, queremos provar que:
Isso é equivalente a:
Mas na nossa segunda premissa, temos exatamente algo parecido:

Passo 5

Agora, vamos assumir que é verdadeiro e mostrar que isso implica .
Suponha que seja verdadeiro.
A partir da segunda premissa:
Como sabemos que é falso ( é verdadeiro), para que a implicação seja verdadeira, o antecedente deve ser falso. Ou seja:
deve ser falso.
Para que uma conjunção A ∧ B seja falsa, pelo menos um dos componentes deve ser falso. Então, ou:
  • é falso, o que significa que é verdadeiro, ou
  • é falso.

Passo 6

Agora, vamos analisar a primeira premissa para ajudar nessa conclusão:
Sabendo que pelo menos um entre ou é verdadeiro, e já considerando que se é falso então é verdadeiro, temos dois casos:
  1. Caso 1: é verdadeiro
    • Isso já nos dá diretamente a conclusão .
  2. Caso 2: é falso
    • Se é falso, então da primeira premissa , necessariamente deve ser verdadeiro.

Passo 7

Em ambos os casos, chegamos à conclusão de que é verdadeiro.
Portanto, se é verdadeiro, então é verdadeiro.
Isso significa que:

Resposta

Logo, a conclusão válida é .

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