Use regras de inferência para mostrar que, para cada conjunto de premissas dado, a conclusão é válida:
forall x(P(x) vee Q(x)), forall x((neg P(x) wed>= Q(x)) R(x)) vdash forall x(neg R(x) P(x));

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de premissas e precisa mostrar que uma certa conclusão é verdadeira com base nelas. A matéria aqui é Lógica de Primeira Ordem, especificamente usando regras de inferência para provar a validade da conclusão. Vamos precisar entender os quantificadores universais (), as operações lógicas como (ou), (e), (implica), e as negações (¬). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as premissas e a conclusão que precisamos provar:
  1. Premissa 1: forall x(P(x) vee Q(x))
    Isso significa que, para todo elemento x, ou P(x) é verdadeiro ou Q(x) é verdadeiro.
  2. Premissa 2: forall x((neg P(x) wed>= Q(x)) R(x))
    Isso quer dizer que, para todo x, se P(x) não é verdadeiro e Q(x) é verdadeiro, então R(x) é verdadeiro.
Conclusão que precisamos provar:
forall x(neg R(x) P(x))
Ou seja, para todo x, se R(x) não é verdadeiro, então P(x) é verdadeiro.

Passo 3

Vamos começar aplicando a instanciação universal, que nos permite substituir o x por um elemento arbitrário. Vamos chamar esse elemento de a.
Então, temos:
  1. P(a) vee Q(a)
  2. (neg P(a) wed>= Q(a)) R(a)
  3. Queremos provar: neg R(a) P(a)

Passo 4

Vamos usar o contrapositivo na conclusão que queremos provar. O contrapositivo de uma implicação A → B é ¬B → ¬A, e eles são logicamente equivalentes. Então, queremos provar que:
neg R(a) P(a)
Isso é equivalente a:
neg P(a) R(a)
Mas na nossa segunda premissa, temos exatamente algo parecido:
(neg P(a) wed>= Q(a)) R(a)

Passo 5

Agora, vamos assumir que neg R(a) é verdadeiro e mostrar que isso implica P(a).
Suponha que neg R(a) seja verdadeiro.
A partir da segunda premissa:
(neg P(a) wed>= Q(a)) R(a)
Como sabemos que R(a) é falso ( neg R(a) é verdadeiro), para que a implicação seja verdadeira, o antecedente deve ser falso. Ou seja:
neg P(a) wed>= Q(a) deve ser falso.
Para que uma conjunção A ∧ B seja falsa, pelo menos um dos componentes deve ser falso. Então, ou:
  • neg P(a) é falso, o que significa que P(a) é verdadeiro, ou
  • Q(a) é falso.

Passo 6

Agora, vamos analisar a primeira premissa para ajudar nessa conclusão:
P(a) vee Q(a)
Sabendo que pelo menos um entre P(a) ou Q(a) é verdadeiro, e já considerando que se neg P(a) é falso então P(a) é verdadeiro, temos dois casos:
  1. Caso 1: P(a) é verdadeiro
    • Isso já nos dá diretamente a conclusão P(a).
  2. Caso 2: Q(a) é falso
    • Se Q(a) é falso, então da primeira premissa P(a) vee Q(a), necessariamente P(a) deve ser verdadeiro.

Passo 7

Em ambos os casos, chegamos à conclusão de que P(a) é verdadeiro.
Portanto, se neg R(a) é verdadeiro, então P(a) é verdadeiro.
Isso significa que:
neg R(a) P(a)

Resposta

Logo, a conclusão válida é forall x(neg R(x) P(x)).

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