Use regras de inferência para mostrar que, para cada conjunto de premissas dado, a conclusão é válida:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um conjunto de premissas e precisa mostrar que uma certa conclusão é verdadeira com base nelas. A matéria aqui é Lógica de Primeira Ordem, especificamente usando regras de inferência para provar a validade da conclusão. Vamos precisar entender os quantificadores universais (
∀
), as operações lógicas como ∨
(ou), ∧
(e), →
(implica), e as negações (¬
). Vamos lá!Passo 2
Primeiro, vamos escrever as premissas e a conclusão que precisamos provar:
-
Premissa 1:
Isso significa que, para todo elementox
, ouP(x)
é verdadeiro ouQ(x)
é verdadeiro. -
Premissa 2:
Isso quer dizer que, para todox
, seP(x)
não é verdadeiro eQ(x)
é verdadeiro, entãoR(x)
é verdadeiro.
Conclusão que precisamos provar:
Ou seja, para todo
Ou seja, para todo
x
, se R(x)
não é verdadeiro, então P(x)
é verdadeiro.Passo 3
Vamos começar aplicando a instanciação universal, que nos permite substituir o
x
por um elemento arbitrário. Vamos chamar esse elemento de a
.Então, temos:
-
-
- Queremos provar:
Passo 4
Vamos usar o contrapositivo na conclusão que queremos provar. O contrapositivo de uma implicação
A → B
é ¬B → ¬A
, e eles são logicamente equivalentes. Então, queremos provar que:Isso é equivalente a:
Mas na nossa segunda premissa, temos exatamente algo parecido:
Passo 5
Agora, vamos assumir que
é verdadeiro e mostrar que isso implica
.
Suponha que
seja verdadeiro.
A partir da segunda premissa:
Como sabemos que
é falso (
é verdadeiro), para que a implicação seja verdadeira, o antecedente deve ser falso. Ou seja:
Para que uma conjunção
A ∧ B
seja falsa, pelo menos um dos componentes deve ser falso. Então, ou:-
é falso, o que significa que é verdadeiro, ou -
é falso.
Passo 6
Agora, vamos analisar a primeira premissa para ajudar nessa conclusão:
Sabendo que pelo menos um entre
ou
é verdadeiro, e já considerando que se
é falso então
é verdadeiro, temos dois casos:
-
Caso 1:
é verdadeiro - Isso já nos dá diretamente a conclusão
.
- Isso já nos dá diretamente a conclusão
-
Caso 2:
é falso - Se
é falso, então da primeira premissa , necessariamente deve ser verdadeiro.
- Se
Passo 7
Em ambos os casos, chegamos à conclusão de que
é verdadeiro.
Portanto, se
é verdadeiro, então
é verdadeiro.
Isso significa que:
Resposta
Logo, a conclusão válida é
.
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