Resolva as seguintes integrais:
integral1^2 x^2 ln (x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 1 a 2. Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente envolvendo integrais que combinam funções polinomiais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada quando temos o produto de duas funções e facilita a integral dividindo-a em partes mais simples. A fórmula básica é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e .

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln(x) e dv = x^2 , dx
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Calculando du = 1x , dx :
v = integral x^2 , dx = x^33
E para encontrar , integramos :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x^2 ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
= ln(x) cdot x^33 - integral x^33 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a integral restante:
integral x^33 cdot 1x , dx = 13 integral x^2 , dx = 13 cdot x^33 = x^39

Passo 7

Voltando à expressão principal:
integral x^2 ln(x) , dx = x^33 ln(x) - x^39 + C
Como estamos resolvendo uma integral definida de 1 a 2, não precisamos da constante .

Passo 8

Agora, avaliamos de 1 a 2:
[ 2^33 ln(2) - 2^39 ] - [ 1^33 ln(1) - 1^39 ]
Sabemos que = [ 83 ln(2) - 89 ] - [ 0 - 19 ] , então:

Passo 9

Simplificando:
= 83 ln(2) - 89 + 19 = 83 ln(2) - 79

Resposta

A integral definida de 83 ln(2) - 79 de 1 a 2 é:

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