Refaça a atividader para as seguintes funçòs, (na qustàs (1), só traça o grífico)
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para refazer a atividade para a função . Isso está relacionado ao estudo das funções hiperbólicas, que são parecidas com as funções trigonométricas, mas relacionadas a ângulos hiperbólicos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função seno hiperbólico, como traçar seu gráfico e explorar algumas de suas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função . A função seno hiperbólico é definida pela fórmula:
Aqui, é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. Essa função é útil em várias áreas, como engenharia e física, principalmente em problemas que envolvem geometria hiperbólica.

Passo 3

Agora, vamos traçar o gráfico de . Para isso, precisamos calcular alguns valores da função para diferentes valores de e plotar esses pontos no gráfico.
Por exemplo:
Fazendo isso para vários valores de , você vai perceber que o gráfico da é simétrico em relação à origem e cresce exponencialmente tanto para valores positivos quanto para negativos de .

Passo 4

Vamos agora discutir algumas propriedades importantes da função :
  1. Domínio e Contradomínio: O domínio de é todos os números reais ( ), e o contradomínio também é .
  2. Paridade: é uma função ímpar, ou seja, . Isso explica a simetria do gráfico em relação à origem.
  3. Derivada: A derivada de é , onde .
  4. Integral: A integral de em relação a é , onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos calcular a derivada de :
Isso nos diz a inclinação da tangente ao gráfico da em qualquer ponto .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de :
Essa é a antiderivada da função seno hiperbólico.

Passo 7

Finalmente, vamos resumir tudo que fizemos:
  • Entendemos a definição da função .
  • Traçamos seu gráfico calculando pontos chave.
  • Exploramos suas propriedades como domínio, paridade, derivada e integral.

Resposta

A função possui um gráfico simétrico em relação à origem, cresce exponencialmente para valores positivos e negativos de , é ímpar, sua derivada é e sua integral é .

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