Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto , uma relação de equivalência em e dois elementos . Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes: .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto e uma relação de equivalência definida em . Além disso, temos dois elementos e pertencentes a . O objetivo é mostrar que a afirmação é equivalente a outra afirmação relacionada à relação de equivalência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são relações de equivalência e classes de equivalência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo , .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Essas propriedades garantem que podemos dividir o conjunto em grupos chamados de classes de equivalência.

Passo 3

Uma classe de equivalência de um elemento , denotada por , é o conjunto de todos os elementos de que estão relacionados a pela relação . Ou seja,

Passo 4

Agora, queremos mostrar que é equivalente a dizer que . Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Se , então .
  2. Se , então .

Passo 5

Parte 1: Suponha que . Queremos mostrar que .
Pelo fato de e , então . Isso significa que por definição de classe de equivalência.

Passo 6

Parte 2: Suponha que . Queremos mostrar que .
Primeiro, tomemos um elemento qualquer . Isso significa que . Sabemos que , e pela propriedade transitiva (já que é uma relação de equivalência), se e , então . Portanto, , mostrando que .
De forma similar, tomando , temos e como , pela transitividade, . Assim, , mostrando que .
Como e , concluímos que .

Resposta

Portanto, mostramos que é equivalente a . As duas afirmações são equivalentes.

Exercícios relacionados

Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
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Sejam e ; Determine os pares de elementos de que não são comparáveis.
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