Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
e uma relação de equivalência
definida em
. Além disso, temos dois elementos
e
pertencentes a
. O objetivo é mostrar que a afirmação
é equivalente a outra afirmação relacionada à relação de equivalência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são relações de equivalência e classes de equivalência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em
é chamada de relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo
, . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Essas propriedades garantem que podemos dividir o conjunto
em grupos chamados de classes de equivalência.
Passo 3
Uma classe de equivalência de um elemento
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos de
que estão relacionados a
pela relação
. Ou seja,
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
é equivalente a dizer que
. Vamos dividir isso em duas partes:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 5
Parte 1: Suponha que
. Queremos mostrar que
.
Pelo fato de
e
, então
. Isso significa que
por definição de classe de equivalência.
Passo 6
Parte 2: Suponha que
. Queremos mostrar que
.
Primeiro, tomemos um elemento qualquer
. Isso significa que
. Sabemos que
, e pela propriedade transitiva (já que
é uma relação de equivalência), se
e
, então
. Portanto,
, mostrando que
.
De forma similar, tomando
, temos
e como
, pela transitividade,
. Assim,
, mostrando que
.
Como
e
, concluímos que
.
Resposta
Portanto, mostramos que
é equivalente a
. As duas afirmações são equivalentes.
Exercícios relacionados
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
Sejam
e
relações em um conjunto
. Prove que: Se
e
são reflexivas, então a relação
é reflexiva;
Sejam
e
; Determine os pares de elementos de
que não são comparáveis.
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.