Sejam
e
relações em um conjunto
. Prove que: Se
e
são reflexivas, então a relação
é reflexiva;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de relações,
e
, em um conjunto
. A questão quer que a gente prove que, se essas duas relações são reflexivas, então a interseção delas, ou seja,
, também é reflexiva. Reflexividade é um conceito da teoria de relações, que basicamente diz que todo elemento está relacionado consigo mesmo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma relação ser reflexiva. Uma relação
em um conjunto
é reflexiva se, para todo elemento
em
, o par
está em
. Em outras palavras:
Passo 3
Sabendo disso, como
e
são reflexivas, isso significa que:
Passo 4
Agora, queremos mostrar que
é reflexiva. A interseção
contém todos os pares que estão tanto em
quanto em
. Ou seja:
Passo 5
Para provar que
é reflexiva, precisamos mostrar que para todo
, o par
está em
. Como sabemos que
está em
e também em
, então
está na interseção
.
Resposta
Portanto,
é uma relação reflexiva em
.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto qualquer. Definimos a relação de identidade (ou igualdade) em
, denotada por
, como sendo
; Determine a relação identidade em
;
Dadas as funções
e
, calcule
:
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
.