Sejam R1 e R2 relações em um conjunto A. Prove que: Se R1 e R2 são reflexivas, então a relação R1 ∩ R2 é reflexiva;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos de relações, e , em um conjunto . A questão quer que a gente prove que, se essas duas relações são reflexivas, então a interseção delas, ou seja, , também é reflexiva. Reflexividade é um conceito da teoria de relações, que basicamente diz que todo elemento está relacionado consigo mesmo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma relação ser reflexiva. Uma relação em um conjunto é reflexiva se, para todo elemento em , o par está em . Em outras palavras:

Passo 3

Sabendo disso, como e são reflexivas, isso significa que:

Passo 4

Agora, queremos mostrar que é reflexiva. A interseção contém todos os pares que estão tanto em quanto em . Ou seja:

Passo 5

Para provar que é reflexiva, precisamos mostrar que para todo , o par está em . Como sabemos que está em e também em , então está na interseção .

Resposta

Portanto, é uma relação reflexiva em .

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