Seja A um conjunto não vazio. Um subconjunto P ⊆ P(X) é dito uma partição de A se P satisfaz as condições: (i) ∅ não pertence a P; Para cada partição acima, encontre uma relação de equivalência em A de forma que, para cada x em A, a classe de equivalência de x seja um subconjunto de A dessa partição.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto não vazio e uma partição desse conjunto. Uma partição é basicamente uma divisão de em subconjuntos disjuntos que cobrem todo o . A gente precisa encontrar uma relação de equivalência em onde cada classe de equivalência corresponde a um desses subconjuntos da partição . Para isso, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência e como ela funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. É uma relação que satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Essas propriedades garantem que a relação divida o conjunto em classes de equivalência bem definidas.

Passo 3

Agora, vamos definir a relação de equivalência baseada na partição . A ideia é que dois elementos e de sejam equivalentes se eles estiverem no mesmo subconjunto da partição . Formalmente, definimos:
Ou seja, está relacionado com se ambos pertencem ao mesmo subconjunto da partição .

Passo 4

Vamos verificar se essa relação satisfaz as propriedades de equivalência:
  1. Reflexiva: Para todo , como está em algum subconjunto de , então .
  2. Simétrica: Se , então ambos estão no mesmo , o que implica que .
  3. Transitiva: Se e , então e estão no mesmo , então .
Assim, a relação que definimos realmente é uma relação de equivalência.

Resposta

A relação de equivalência é definida por

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