Seja
um conjunto não vazio. Um subconjunto
é dito uma partição de
se
satisfaz as condições: (i)
; Para cada partição acima, encontre uma relação de equivalência em
de forma que, para cada
, a classe de equivalência de
seja um subconjunto de
dessa partição.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um conjunto não vazio
e uma partição
desse conjunto. Uma partição é basicamente uma divisão de
em subconjuntos disjuntos que cobrem todo o
. A gente precisa encontrar uma relação de equivalência em
onde cada classe de equivalência corresponde a um desses subconjuntos da partição
. Para isso, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência e como ela funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. É uma relação que satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Todo elemento está relacionado consigo mesmo, ou seja,
para todo . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Essas propriedades garantem que a relação divida o conjunto em classes de equivalência bem definidas.
Passo 3
Agora, vamos definir a relação de equivalência baseada na partição
. A ideia é que dois elementos
e
de
sejam equivalentes se eles estiverem no mesmo subconjunto da partição
. Formalmente, definimos:
Ou seja,
está relacionado com
se ambos pertencem ao mesmo subconjunto
da partição
.
Passo 4
Vamos verificar se essa relação satisfaz as propriedades de equivalência:
- Reflexiva: Para todo
, como está em algum subconjunto de , então . - Simétrica: Se
, então ambos estão no mesmo , o que implica que . - Transitiva: Se
e , então e estão no mesmo , então .
Assim, a relação que definimos realmente é uma relação de equivalência.
Resposta
A relação de equivalência
é definida por
Exercícios relacionados
p)
Refaça a seguinte demonstração vista em aula: Dados um conjunto
, uma relação de equivalência
em
e dois elementos
. Mostre que as seguintes afirmações são equivalentes:
;
No conjunto parcialmente ordenado
, em que
, determine os elementos minimais e os elementos maximais de
(se existirem).
Usando técnicas ou fórmulas de fatoração adequadas, simplique as expressões até que a expressão seja representada em formato não-fracionário.