Resolva o seguinte P.V.I.: .
a) Encontre a solução Geral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: com as condições iniciais e . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Agora, multiplicamos ambos os lados por (a derivada de em relação a ):
Isso é útil porque o lado esquerdo pode ser visto como a derivada de .
Passo 3
Então, reescrevemos a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.
Passo 4
Vamos isolar :
Agora, temos uma equação separável que podemos integrar para encontrar em função de :
Passo 5
A integral resultante não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a solução geral será expressa de forma implícita, envolvendo essa integral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por: