Resolva o seguinte P.V.I.: .
a) Encontre a solução Geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial. O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem: com as condições iniciais e . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Agora, multiplicamos ambos os lados por (a derivada de em relação a ):
Isso é útil porque o lado esquerdo pode ser visto como a derivada de .

Passo 3

Então, reescrevemos a equação como:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos isolar :
Agora, temos uma equação separável que podemos integrar para encontrar em função de :

Passo 5

A integral resultante não possui uma solução em termos de funções elementares. Portanto, a solução geral será expressa de forma implícita, envolvendo essa integral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde e são constantes de integração.

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a) Suponha que é uma curva fechada, simples que não engloba a origem. Use o Teorema de Green para determinar o valor de
b) Agora, suponha que é uma curva fechada, simples engloba a origem. Você pode usar o Teorema de Green para determinar o valor de
Explique.
c) Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
d) Use o resultado da parte c) para determinar o valor de
onde é qualquer curva fechada, simples que engloba a origem.
e uma região calculando ambas as integrais
nos itens abaixo:
a) é o disco .
b) é o retângulo limitado por e .
c) é o quadrado com vértices e .
d) é a região semicircular .
e) é a região elíptica .
f) é a região dentro do círculo e fora do círculo
Resolva o seguinte P.V.I.:
a) Encontre a Solução Geral.
Resolva a seguinte EDO: , para .
b) Encontre a Solução Particular, ;