Em uma região livre de cargas, na qual sigma=0, epsilon=epsilono epsilonr e mu=muo,
H=5 cos (10^11 t-4 y) az A / m
encontre: (a) Jd e D; (b) epsilonr.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo magnético H em uma região sem cargas livres, onde sigma = 0, a permissividade elétrica é epsilon = epsilono epsilonr e a permeabilidade magnética é mu = muo. A função do campo magnético é dada por:
H = 5 cos (10^11 t - 4 y) az , A/m
Precisamos encontrar:
a) A densidade de corrente de deslocamento Jd e o campo de deslocamento elétrico D;
b) A permissividade relativa epsilonr.
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de Maxwell, especialmente aquelas que relacionam os campos elétrico e magnético em meios materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de deslocamento Jd está relacionada à variação do campo de deslocamento elétrico D no tempo:
Jd = partial Dpartial t
E o campo de deslocamento elétrico D é dado por:
D = epsilon E = epsilono epsilonr E
Onde E é o campo elétrico que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar E, vamos usar a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo ou em um meio. A partir das equações de Maxwell, sabemos que:
nabla times H = partial Dpartial t
Como não há cargas livres ( sigma = 0), não precisamos nos preocupar com correntes de condução.

Passo 4

Calculando o rotacional de H:
Dado que H = 5 cos (10^11 t - 4 y) az,
nabla times H = ( partial Hzpartial y ) ax - ( partial Hzpartial x ) ay + ( partial Hypartial x - partial Hxpartial y ) az
Como Hx = Hy = 0, restam apenas as componentes que envolvem Hz:
nabla times H = partial Hzpartial y ax
Calculando a derivada:
partial Hzpartial y = 5 times (-4) sin (10^11 t - 4 y) = -20 sin (10^11 t - 4 y)
Então,
nabla times H = -20 sin (10^11 t - 4 y) ax

Passo 5

Agora, igualamos isso a partial Dpartial t:
-20 sin (10^11 t - 4 y) ax = partial Dpartial t
Integrando em relação ao tempo para encontrar D:
D = integral -20 sin (10^11 t - 4 y) dt , ax = 2010^11 cos (10^11 t - 4 y) ax
Simplificando:
D = 2 times 10^-10 cos (10^11 t - 4 y) ax , C/m^2

Passo 6

Agora que temos D, podemos encontrar a densidade de corrente de deslocamento Jd usando:
Jd = partial Dpartial t
Calculando a derivada de D em relação ao tempo:
partial Dpartial t = -2 times 10^-10 times 10^11 sin (10^11 t - 4 y) ax = -20 sin (10^11 t - 4 y) ax , A/m^2

Passo 7

Até agora, encontramos:
D = 2 times 10^-10 cos (10^11 t - 4 y) ax , C/m^2
e
Jd = -20 sin (10^11 t - 4 y) ax , A/m^2

Passo 8

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a permissividade relativa epsilonr. Sabemos que:
D = epsilono epsilonr E
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico E. Usando a relação entre D e E:
E = Depsilono epsilonr
Mas também podemos usar a relação entre as ondas eletromagnéticas:
E = eta H
Onde é a impedância do meio.

Passo 9

Igualando as duas expressões para E:
Depsilono epsilonr = eta H
Substituindo eta:
Isolando Depsilono epsilonr = raizmuoepsilono epsilonr H :

Passo 10

Simplificando e resolvendo para epsilonr:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
2 times 10^-10epsilono epsilonr = 5 raizmuoepsilono epsilonr
Simplificando:
(2 times 10^-10epsilono epsilonr)^2 = 25 muoepsilono epsilonr
Multiplicando ambos os lados por 4 times 10^-20epsilono^2 epsilonr^2 = 25 muoepsilono epsilonr :
epsilono^2 epsilonr^2
Isolando 4 times 10^-20 = 25 muo epsilono epsilonr :
epsilonr

Resposta

a) A densidade de corrente de deslocamento é Jd = -20 sin (10^11 t - 4 y) ax , A/m^2 e o campo de deslocamento elétrico é D = 2 times 10^-10 cos (10^11 t - 4 y) ax , C/m^2.
b) A permissividade relativa é:
epsilonr = 4 times 10^-2025 muo epsilono

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