Em uma região livre de cargas, na qual e ,
encontre: (a) e ; (b) .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo magnético em uma região sem cargas livres, onde , a permissividade elétrica é e a permeabilidade magnética é . A função do campo magnético é dada por:
Precisamos encontrar:
a) A densidade de corrente de deslocamento e o campo de deslocamento elétrico ;
b) A permissividade relativa .
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de Maxwell, especialmente aquelas que relacionam os campos elétrico e magnético em meios materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de deslocamento está relacionada à variação do campo de deslocamento elétrico no tempo:
E o campo de deslocamento elétrico é dado por:
Onde é o campo elétrico que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar , vamos usar a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo ou em um meio. A partir das equações de Maxwell, sabemos que:
Como não há cargas livres ( ), não precisamos nos preocupar com correntes de condução.

Passo 4

Calculando o rotacional de :
Dado que ,
Como , restam apenas as componentes que envolvem :
Calculando a derivada:
Então,

Passo 5

Agora, igualamos isso a :
Integrando em relação ao tempo para encontrar :
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a densidade de corrente de deslocamento usando:
Calculando a derivada de em relação ao tempo:

Passo 7

Até agora, encontramos:
e

Passo 8

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a permissividade relativa . Sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico . Usando a relação entre e :
Mas também podemos usar a relação entre as ondas eletromagnéticas:
Onde é a impedância do meio.

Passo 9

Igualando as duas expressões para :
Substituindo :
Isolando :

Passo 10

Simplificando e resolvendo para :
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :

Resposta

a) A densidade de corrente de deslocamento é e o campo de deslocamento elétrico é .
b) A permissividade relativa é:

Exercícios relacionados

A razão (densidade de corrente de condução por densidade de corrente de deslocamento) é muito importante em altas frequências. Calcule a razão em 1 GHz para os seguintes meios:
a) água destilada ( )
b) água do mar )
c) calcário ( )
Uma espira circular condutora de raio 20 cm está no plano imersa em um campo magnético . Calcule a tensão induzida na espira.
Em uma região onde e , os potenciais retardados são dados por:
, onde .
Mostre que:
a) .
b) Calcule e .
Em um certo meio não magnético:

Encontre a constante dielétrica e o campo magnético correspondente.