Em uma região livre de cargas, na qual
e
,
encontre: (a)
e
; (b)
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um campo magnético
em uma região sem cargas livres, onde
, a permissividade elétrica é
e a permeabilidade magnética é
. A função do campo magnético é dada por:
Precisamos encontrar:
a) A densidade de corrente de deslocamento e o campo de deslocamento elétrico
;
b) A permissividade relativa .
a) A densidade de corrente de deslocamento
b) A permissividade relativa
Para resolver isso, vamos precisar usar as equações de Maxwell, especialmente aquelas que relacionam os campos elétrico e magnético em meios materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente de deslocamento
está relacionada à variação do campo de deslocamento elétrico
no tempo:
E o campo de deslocamento elétrico
é dado por:
Onde
é o campo elétrico que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar
, vamos usar a relação entre os campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética no vácuo ou em um meio. A partir das equações de Maxwell, sabemos que:
Como não há cargas livres (
), não precisamos nos preocupar com correntes de condução.
Passo 4
Calculando o rotacional de
:
Dado que ,
Dado que
Como
, restam apenas as componentes que envolvem
:
Calculando a derivada:
Então,
Passo 5
Agora, igualamos isso a
:
Integrando em relação ao tempo para encontrar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar a densidade de corrente de deslocamento
usando:
Calculando a derivada de
em relação ao tempo:
Passo 7
Até agora, encontramos:
e
Passo 8
Agora, para a parte (b), precisamos encontrar a permissividade relativa
. Sabemos que:
Primeiro, precisamos encontrar o campo elétrico
. Usando a relação entre
e
:
Mas também podemos usar a relação entre as ondas eletromagnéticas:
Onde é a impedância do meio.
Passo 9
Igualando as duas expressões para
:
Substituindo
:
Isolando
:
Passo 10
Simplificando e resolvendo para
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Resposta
a) A densidade de corrente de deslocamento é
e o campo de deslocamento elétrico é
.
b) A permissividade relativa é:
Exercícios relacionados
A razão
(densidade de corrente de condução por densidade de corrente de deslocamento) é muito importante em altas frequências. Calcule a razão em 1 GHz para os seguintes meios:
a) água destilada ( )
b) água do mar )
c) calcário ( )
a) água destilada (
b) água do mar
c) calcário (
Uma espira circular condutora de raio 20 cm está no plano
imersa em um campo magnético
. Calcule a tensão induzida na espira.
Em uma região onde
e
, os potenciais retardados são dados por:
, onde
.
Mostre que:
a) .
b) Calcule e
.
Mostre que:
a)
b) Calcule
Em um certo meio não magnético:
Encontre a constante dielétrica e o campo magnético
correspondente.
Encontre a constante dielétrica