Em uma região onde e , os potenciais retardados são dados por:
, onde .
Mostre que:
a) .
b) Calcule e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região onde a permeabilidade relativa ( ) e a permissividade relativa ( ) são iguais a 1, e a condutividade ( ) é zero. Isso simplifica muitas das equações de Maxwell que vamos usar. O enunciado nos dá os potenciais retardados e :
onde é a velocidade da luz no vácuo. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como o operador divergente ( ), campos elétrico ( ), magnético ( ), campo de deslocamento ( ) e intensidade de campo magnético ( ).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) da questão, onde precisamos mostrar que:
Primeiro, vamos calcular o divergente de . A função dada para é:
O operador divergente em coordenadas cartesianas é:
Como só tem componente na direção , . Então, restará apenas:
Calculando :
Agora, vamos calcular . A função para é:
Derivando em relação ao tempo :
Portanto:
Sabemos que , então:
Mas, para que a igualdade $ \nabla \cdot \vec{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} $ seja válida, precisamos que:
O que já sabemos que é verdade, já que . Portanto, mostramos que:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos calcular os campos , , e . Para isso, vamos usar as seguintes relações:
  1. Campo magnético :
  1. Campo elétrico :
  1. Campo de deslocamento :
  1. Intensidade de campo magnético :
Vamos calcular cada um passo a passo.

Passo 4

Calculando o Campo Magnético :
Usando a relação , vamos calcular o rotacional de .
Dada:
O rotacional em coordenadas cartesianas é:
Como , temos:
Calculando :
Portanto:

Passo 5

Calculando o Campo Elétrico :
Usamos a relação:
Primeiro, calculamos .
Dado:
As derivadas parciais são:
Então:
Agora, calculamos .
Dado:
Derivando em relação a :
Portanto:
Somando as duas partes:

Passo 6

Calculando o Campo de Deslocamento :
Usamos a relação:
Já encontramos :
Então:

Passo 7

Calculando a Intensidade de Campo Magnético :
Usamos a relação:
Já encontramos :
Então:

Resposta

a) Mostramos que .
b) Os campos são:

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encontre: (a) e ; (b) .
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