Em uma região onde
e
, os potenciais retardados são dados por:
, onde
.
Mostre que:
a)
.
b) Calcule
e
.
Mostre que:
a)
b) Calcule
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região onde a permeabilidade relativa (
) e a permissividade relativa (
) são iguais a 1, e a condutividade (
) é zero. Isso simplifica muitas das equações de Maxwell que vamos usar. O enunciado nos dá os potenciais retardados
e
:
onde
é a velocidade da luz no vácuo. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como o operador divergente (
), campos elétrico (
), magnético (
), campo de deslocamento (
) e intensidade de campo magnético (
).
Passo 2
Vamos começar com a parte (a) da questão, onde precisamos mostrar que:
Primeiro, vamos calcular o divergente de
. A função dada para
é:
O operador divergente em coordenadas cartesianas é:
Como
só tem componente na direção
,
. Então, restará apenas:
Calculando
:
Agora, vamos calcular
. A função para
é:
Derivando em relação ao tempo
:
Portanto:
Sabemos que
, então:
Mas, para que a igualdade $ \nabla \cdot \vec{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} $ seja válida, precisamos que:
O que já sabemos que é verdade, já que
. Portanto, mostramos que:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos calcular os campos
,
,
e
. Para isso, vamos usar as seguintes relações:
- Campo magnético
:
- Campo elétrico
:
- Campo de deslocamento
:
- Intensidade de campo magnético
:
Vamos calcular cada um passo a passo.
Passo 4
Calculando o Campo Magnético
:
Usando a relação
, vamos calcular o rotacional de
.
Dada:
O rotacional em coordenadas cartesianas é:
Como
, temos:
Calculando
:
Portanto:
Passo 5
Calculando o Campo Elétrico
:
Usamos a relação:
Primeiro, calculamos
.
Dado:
As derivadas parciais são:
Então:
Agora, calculamos
.
Dado:
Derivando em relação a
:
Portanto:
Somando as duas partes:
Passo 6
Calculando o Campo de Deslocamento
:
Usamos a relação:
Já encontramos
:
Então:
Passo 7
Calculando a Intensidade de Campo Magnético
:
Usamos a relação:
Já encontramos
:
Então:
Resposta
a) Mostramos que
.
b) Os campos são:
Exercícios relacionados
Em uma região livre de cargas, na qual
e
,
encontre: (a)
e
; (b)
.
A razão
(densidade de corrente de condução por densidade de corrente de deslocamento) é muito importante em altas frequências. Calcule a razão em 1 GHz para os seguintes meios:
a) água destilada ( )
b) água do mar )
c) calcário ( )
a) água destilada (
b) água do mar
c) calcário (
Em um certo meio não magnético:
Encontre a constante dielétrica e o campo magnético
correspondente.
Encontre a constante dielétrica
Um sinal de radar de 10 GHz pode ser representado como uma onda plana uniforme em um região suficientemente pequena. Calcule o comprimento de onda em centímetros e a atenuação em nepers por metro se a onda está se propagando em um material não magnético para o qual:
; (b) $\epsilon_{r}^{\prime}=1,04, \epsilon_{r}