Em uma região onde mur=epsilonr=1 e sigma=0, os potenciais retardados são dados por:
V=x(z-c t) Ve A=x(zc-t) az Wb / m, onde c=1 /(muo epsilono)^1 / 2.
Mostre que:
a) nabla cdot A=-mu epsilon partial Vpartial t.
b) Calcule B, H, E e D.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma região onde a permeabilidade relativa ( mur) e a permissividade relativa ( epsilonr) são iguais a 1, e a condutividade ( sigma) é zero. Isso simplifica muitas das equações de Maxwell que vamos usar. O enunciado nos dá os potenciais retardados V e A:
V = x(z - ct)
A = x(zc - t) az , Wb/m
onde c = 1raizmu0 epsilon0 é a velocidade da luz no vácuo. Vamos precisar usar conceitos de eletromagnetismo, como o operador divergente ( nabla cdot), campos elétrico ( E), magnético ( B), campo de deslocamento ( D) e intensidade de campo magnético ( H).

Passo 2

Vamos começar com a parte (a) da questão, onde precisamos mostrar que:
nabla cdot A = -mu epsilon partial Vpartial t
Primeiro, vamos calcular o divergente de A. A função dada para A é:
A = x(zc - t) az
O operador divergente em coordenadas cartesianas é:
nabla cdot A = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z
Como A só tem componente na direção z, Ax = Ay = 0. Então, restará apenas:
nabla cdot A = partial Azpartial z
Calculando partial Azpartial z:
Az = x(zc - t) partial Azpartial z = xc
Agora, vamos calcular -mu epsilon partial Vpartial t. A função para V é:
V = x(z - ct)
Derivando em relação ao tempo t:
partial Vpartial t = -c x
Portanto:
-mu epsilon partial Vpartial t = mu epsilon c x
Sabemos que c = 1raizmu epsilon, então:
Mas, para que a igualdade $ \nabla \cdot \vec{A} = -\mu \epsilon \frac{\partial V}{\partial t} $ seja válida, precisamos que:
mu epsilon c = mu epsilon cdot 1raizmu epsilon = raizmu epsilon
O que já sabemos que é verdade, já que nabla cdot A = -mu epsilon partial Vpartial t . Portanto, mostramos que:
xc = mu epsilon c x Rightarrow 1c = mu epsilon c Rightarrow c^2 = 1mu epsilon

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b), onde precisamos calcular os campos B, H, E e D. Para isso, vamos usar as seguintes relações:
  1. Campo magnético B:
B = nabla times A
  1. Campo elétrico E:
E = -nabla V - partial Apartial t
  1. Campo de deslocamento D:
D = epsilon E
  1. Intensidade de campo magnético H:
H = 1mu B
Vamos calcular cada um passo a passo.

Passo 4

Calculando o Campo Magnético B:
Usando a relação B = nabla times A, vamos calcular o rotacional de A.
Dada:
A = x(zc - t) az
O rotacional em coordenadas cartesianas é:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) ax + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) ay + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) az
Como Ax = Ay = 0, temos:
B = -partial Azpartial x ay
Calculando partial Azpartial x:
Az = x(zc - t) partial Azpartial x = zc - t
Portanto:
B = -(zc - t) ay

Passo 5

Calculando o Campo Elétrico E:
Usamos a relação:
E = -nabla V - partial Apartial t
Primeiro, calculamos -nabla V.
Dado:
V = x(z - ct)
As derivadas parciais são:
partial Vpartial x = z - ct partial Vpartial y = 0 partial Vpartial z = x
Então:
-nabla V = -(z - ct) ax - 0 ay - x az
Agora, calculamos -partial Apartial t.
Dado:
A = x(zc - t) az
Derivando em relação a t:
partial Apartial t = -x az
Portanto:
-partial Apartial t = x az
Somando as duas partes:
E = -(z - ct) ax - x az + x az E = -(z - ct) ax

Passo 6

Calculando o Campo de Deslocamento D:
Usamos a relação:
D = epsilon E
Já encontramos E:
E = -(z - ct) ax
Então:
D = epsilon cdot [-(z - ct) ax] D = -epsilon (z - ct) ax

Passo 7

Calculando a Intensidade de Campo Magnético H:
Usamos a relação:
H = 1mu B
Já encontramos B:
B = -(zc - t) ay
Então:
H = 1mu cdot [ -(zc - t) ay ] H = -1mu (zc - t) ay

Resposta

a) Mostramos que nabla cdot A = -mu epsilon partial Vpartial t.
b) Os campos são:
B = -(zc - t) ay
E = -(z - ct) ax
D = -epsilon (z - ct) ax
H = -1mu (zc - t) ay

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