A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva , à esquerda pela reta e abaixo pela reta é girada em torno do eixo para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método do anel
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma região no primeiro quadrante limitada pela curva , pela reta à esquerda e pela reta embaixo. Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos essa região ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o Método do Anel (também conhecido como Método dos Discos/Ringos), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o Método do Anel. Ele consiste em dividir o sólido em fatias finas (aneles) perpendiculares ao eixo de rotação. Cada anel tem uma área que depende da diferença entre duas funções que representam os limites externo e interno do anel. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
é o raio externo,
é o raio interno,
e são os limites de integração.
Passo 3
Vamos identificar e para nosso problema. Como estamos girando ao redor do eixo , os raios serão as distâncias das funções até o eixo :
Raio Externo : É a distância da curva ao eixo . Resolvendo para :
Então, .
Raio Interno : É a distância da reta ao eixo . Resolvendo para :
Então, .
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração e . Esses limites são os valores de que definem a região:
A parte inferior da região é .
A parte superior é .
Como vamos integrar em relação a , os limites serão de até .
Passo 5
Com todas as informações prontas, podemos montar a integral para o volume:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Aplicando os limites de integração:
Passo 7
Vamos calcular cada termo:
Para de a :
Para de a :
Passo 8
Substituindo de volta na expressão do volume:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto: