A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva y = 1 / raiz(x), à esquerda pela reta y = 1/16 e abaixo pela reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método do anel

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma região no primeiro quadrante limitada pela curva , pela reta à esquerda e pela reta embaixo. Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando giramos essa região ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos usar o Método do Anel (também conhecido como Método dos Discos/Ringos), que nos ajuda a calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o Método do Anel. Ele consiste em dividir o sólido em fatias finas (aneles) perpendiculares ao eixo de rotação. Cada anel tem uma área que depende da diferença entre duas funções que representam os limites externo e interno do anel. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
onde:
  • é o raio externo,
  • é o raio interno,
  • e são os limites de integração.

Passo 3

Vamos identificar e para nosso problema. Como estamos girando ao redor do eixo , os raios serão as distâncias das funções até o eixo :
  • Raio Externo : É a distância da curva ao eixo . Resolvendo para :
    Então, .
  • Raio Interno : É a distância da reta ao eixo . Resolvendo para :
    Então, .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração e . Esses limites são os valores de que definem a região:
  • A parte inferior da região é .
  • A parte superior é .
Como vamos integrar em relação a , os limites serão de até .

Passo 5

Com todas as informações prontas, podemos montar a integral para o volume:
Simplificando as expressões dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Calculando cada parte separadamente:
Aplicando os limites de integração:

Passo 7

Vamos calcular cada termo:
  1. Para de a :
  2. Para de a :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão do volume:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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