A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva y = 1 / raiz(x), à esquerda pela reta y = 1/16 e abaixo pela reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método da casca cilíndrica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado ao girar uma região no primeiro quadrante em torno do eixo . A região é limitada pela curva , pela reta à esquerda e pela reta embaixo. Vamos usar o Método da Casca Cilíndrica, que é ótimo para esse tipo de problema quando a rotação é em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o método da casca cilíndrica. Nesse método, a gente imagina empilhar cilindros fininhos (cascas) verticais dentro do sólido. Cada casca tem uma altura e um raio, e a gente calcula o volume dessas cascas e soma tudo para obter o volume total.

Passo 3

Para aplicar o método, precisamos identificar as funções que delimitam a região. Temos:
  • A curva superior:
  • A reta à esquerda:
  • A reta de baixo:
Vamos precisar encontrar os limites de integração, ou seja, os valores de onde essas curvas se encontram.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o valor de onde intercepta :
Então, a região vai de até .

Passo 5

Agora, precisamos expressar em função de para usar no método da casca cilíndrica. A curva pode ser reescrita como:

Passo 6

A fórmula do volume pelo método da casca cilíndrica é:
Onde é a altura da casca, é a função que descreve o raio, e são os limites de integração.

Passo 7

Substituindo os valores que temos:
E os limites de integração são de até . Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites:
Como e , temos:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva y = 1 / raiz(x), à esquerda pela reta y = 1/16 e abaixo pela reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método do anel
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas: y = 2*x - x^2 e y = x Da reta x = 1
2,0 Resolva a seguinte equaçâo diferencial exata.
(sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y - 2y) dy = 0
2,0 Resolva o seguinte problema de valor inicial:
2 y' = (2 x - e^(-x)) / (y + e^y), y(0) = 0