A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva
, à esquerda pela reta
e abaixo pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método da casca cilíndrica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado ao girar uma região no primeiro quadrante em torno do eixo
. A região é limitada pela curva
, pela reta
à esquerda e pela reta
embaixo. Vamos usar o Método da Casca Cilíndrica, que é ótimo para esse tipo de problema quando a rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método da casca cilíndrica. Nesse método, a gente imagina empilhar cilindros fininhos (cascas) verticais dentro do sólido. Cada casca tem uma altura e um raio, e a gente calcula o volume dessas cascas e soma tudo para obter o volume total.
Passo 3
Para aplicar o método, precisamos identificar as funções que delimitam a região. Temos:
- A curva superior:
- A reta à esquerda:
- A reta de baixo:
Vamos precisar encontrar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde essas curvas se encontram.
Passo 4
Primeiro, vamos encontrar o valor de
onde
intercepta
:
Então, a região vai de
até
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em função de
para usar no método da casca cilíndrica. A curva
pode ser reescrita como:
Passo 6
A fórmula do volume pelo método da casca cilíndrica é:
Onde
é a altura da casca,
é a função que descreve o raio, e
são os limites de integração.
Passo 7
Substituindo os valores que temos:
E os limites de integração são de
até
. Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos resolver a integral:
Aplicando os limites:
Como
e
, temos:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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, à esquerda pela reta
e abaixo pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método do anel
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
e
Da reta