Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
e
Da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação das regiões delimitadas pelas curvas
e
em torno da reta
. Pra isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo que ajuda a determinar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
As soluções são
e
. Então, os limites de integração serão de
a
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral para o volume
usando esse método é:
Aqui:
-
Raio: É a distância do elemento infinitesimal
à reta de rotação . Então, o raio será . -
Altura: É a diferença entre as funções no intervalo de integração, ou seja,
.
Passo 4
Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta na expressão do volume:
Passo 6
Agora, avaliamos a expressão entre os limites de 0 e 1:
Simplificando:
Calculando os termos:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
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Da reta
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
e
Do eixo
A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva
, à esquerda pela reta
e abaixo pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método do anel
A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva
, à esquerda pela reta
e abaixo pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método da casca cilíndrica.