Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas: y = 2*x - x^2 e y = x Da reta x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta da rotação das regiões delimitadas pelas curvas e em torno da reta . Pra isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo que ajuda a determinar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
As soluções são e . Então, os limites de integração serão de a .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Aqui:
  • Raio: É a distância do elemento infinitesimal à reta de rotação . Então, o raio será .
  • Altura: É a diferença entre as funções no intervalo de integração, ou seja, .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo de volta na expressão do volume:

Passo 6

Agora, avaliamos a expressão entre os limites de 0 e 1:
Simplificando:
Calculando os termos:
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva y = 1 / raiz(x), à esquerda pela reta y = 1/16 e abaixo pela reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método da casca cilíndrica.