Resolva a seguinte equaçâo diferencial exata.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Isso significa que existe uma função
cuja derivada em relação a
e
nos dá os coeficientes das diferentes partes da equação. Para resolver, vamos encontrar essa função
.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos da equação:
Em uma equação exata, a condição é que:
Vamos verificar isso para confirmar que a equação é realmente exata.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Observamos que:
Então, a equação é exata e podemos prosseguir para encontrar
.
Passo 4
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos:
Isso implica que:
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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, à esquerda pela reta
e abaixo pela reta
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