2,0 Resolva a seguinte equaçâo diferencial exata.
(sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y - 2y) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas. Isso significa que existe uma função cuja derivada em relação a e nos dá os coeficientes das diferentes partes da equação. Para resolver, vamos encontrar essa função .

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos da equação:
Em uma equação exata, a condição é que:
Vamos verificar isso para confirmar que a equação é realmente exata.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Observamos que:
Então, a equação é exata e podemos prosseguir para encontrar .

Passo 4

Para encontrar , integramos em relação a :
Como é constante em relação a , a integral fica:
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 5

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos:
Isso implica que:

Passo 6

Integrando em relação a :
Agora, substituímos na expressão de :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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