2,0 Resolva o seguinte problema de valor inicial:
2 y' = (2 x - e^(-x)) / (y + e^y), y(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de valor inicial. Ou seja, a gente precisa encontrar uma função que satisfaz essa equação:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Isso facilita a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos escrever como e multiplicar ambos os lados por para isolar os termos:
Isso nos ajuda a integrar ambos os lados de forma mais direta.

Passo 4

Vamos separar as variáveis e :
Agora, cada lado da equação está pronto para ser integrado em relação à sua própria variável.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
Isso nos dará funções integradas que podemos resolver para .

Passo 6

Calculando as integrações:
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 8

Substituímos de volta na equação:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação diferencial de valor inicial é dada implicitamente por:

Exercícios relacionados

2,0 Resolva a seguinte equaçâo diferencial exata.
(sen y - y sen x) dx + (cos x + x cos y - 2y) dy = 0
A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva y = 1 / raiz(x), à esquerda pela reta y = 1/16 e abaixo pela reta y = 1 é girada em torno do eixo x para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método da casca cilíndrica.
2,0 Resolva a equaçáo diferencial homogénea:
(x^2 + y^2) dx + (x^2 - x y) dy = 0
Seja f: X -> Y uma função e sejam U e V subconjuntos de Y. Prove que f^(-1)(U intersecao V) = f^(-1)(U) intersecao f^(-1)(V).