Suponha que uma população P(t) satisfaça
dP/dt = 0,4 P - 0,001 P^2, P(0) = 50
onde t é medido em anos.
(a) Qual é a capacidade de suporte?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma população que muda ao longo do tempo seguindo a equação diferencial:
O conteúdo envolvido aqui é o de equações diferenciais, mais especificamente a equação logística, que é usada para modelar o crescimento de populações levando em conta fatores limitantes. Para resolver essa parte e encontrar a capacidade de suporte, vamos precisar entender como identificar o ponto onde o crescimento da população se estabiliza.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a capacidade de suporte. É o tamanho máximo da população que o ambiente consegue sustentar indefinidamente. Matematicamente, ela corresponde ao valor de onde a taxa de variação da população ( ) é igual a zero, ou seja, onde a população para de crescer.

Passo 3

Então, vamos igualar a equação dada a zero para encontrar esse ponto:
Isso significa que, no equilíbrio, a população não cresce nem diminui.

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para :
Aqui, temos um produto igual a zero, o que nos dá duas soluções possíveis:
  1. (o que não faz sentido no contexto, pois significa nenhuma população)

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação para encontrar a capacidade de suporte:

Resposta

A capacidade de suporte é de 400 indivíduos.

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