Em quais regiões do plano podemos afirmar que a EDO
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre tal que seja solução (implícita) da equação exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais regiões do plano a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
é exata. Depois, para cada região encontrada, precisamos achar uma função tal que seja uma solução implícita da EDO.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar a função potencial . Uma EDO na forma é exata se existir uma função cuja derivada parcial em relação a é e em relação a é . Ou seja:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa EDO:
Agora, pra verificar se a EDO é exata, a gente confere se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Vamos calcular cada uma:
Calculando :
Calculando :
Como , a EDO é exata em todo o plano onde , ou seja, em menos no ponto .

Passo 3

Agora que sabemos que a EDO é exata em todas as regiões do plano menos no ponto , vamos encontrar a função que satisfaz:
Para isso, vamos integrar em relação a :
Essa integral é do tipo , cuja solução é . Aqui, e , então:
Onde é uma função de que vamos determinar.

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos com para encontrar :
Sabemos que , então:
Integrando , temos , onde é uma constante.

Passo 5

Assim, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante na expressão final, então a solução implícita da EDO é:
Onde é uma constante real.

Resposta

A EDO é exata em todas as regiões do plano exceto no ponto . Para essas regiões, a solução implícita é dada por:
onde .

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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
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Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada. , onde e .
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo: ;