Em quais regiões do plano (t, y) podemos afirmar que a EDO
y(t) / (y(t)^2 + t^2) - t / (y(t)^2 + t^2) = 0
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre psi(t, y) tal que psi(t, y) = c in R seja solução (implícita) da equação exata.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais regiões do plano (t, y) a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
é exata. Depois, para cada região encontrada, precisamos achar uma função psi(t, y) tal que seja uma solução implícita da EDO.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar a função potencial psi(t, y). Uma EDO na forma é exata se existir uma função psi(t, y) cuja derivada parcial em relação a t é M e em relação a y é N. Ou seja:

Passo 2

Primeiro, vamos identificar e na nossa EDO:
Agora, pra verificar se a EDO é exata, a gente confere se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Vamos calcular cada uma:
Calculando :
Calculando :
Como , a EDO é exata em todo o plano onde , ou seja, em menos no ponto (0,0).

Passo 3

Agora que sabemos que a EDO é exata em todas as regiões do plano (t, y) menos no ponto (0,0), vamos encontrar a função psi(t, y) que satisfaz:
Para isso, vamos integrar em relação a t:
Essa integral é do tipo , cuja solução é . Aqui, e , então:
Onde é uma função de y que vamos determinar.

Passo 4

Agora, derivamos psi(t, y) em relação a y e igualamos com para encontrar :
Sabemos que , então:
Integrando , temos , onde C é uma constante.

Passo 5

Assim, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante C na expressão final, então a solução implícita da EDO é:
Onde c é uma constante real.

Resposta

A EDO é exata em todas as regiões do plano (t, y) exceto no ponto (0,0). Para essas regiões, a solução implícita é dada por:
onde c em R.

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