Em quais regiões do plano
podemos afirmar que a EDO
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre
tal que
seja solução (implícita) da equação exata.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir em quais regiões do plano
a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
é exata. Depois, para cada região encontrada, precisamos achar uma função
tal que
seja uma solução implícita da EDO.
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que é uma EDO exata e como encontrar a função potencial
. Uma EDO na forma
é exata se existir uma função
cuja derivada parcial em relação a
é
e em relação a
é
. Ou seja:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
e
na nossa EDO:
Agora, pra verificar se a EDO é exata, a gente confere se as derivadas cruzadas são iguais, ou seja:
Vamos calcular cada uma:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, a EDO é exata em todo o plano onde
, ou seja, em
menos no ponto
.
Passo 3
Agora que sabemos que a EDO é exata em todas as regiões do plano
menos no ponto
, vamos encontrar a função
que satisfaz:
Para isso, vamos integrar
em relação a
:
Essa integral é do tipo
, cuja solução é
. Aqui,
e
, então:
Onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos com
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Integrando
, temos
, onde
é uma constante.
Passo 5
Assim, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante
na expressão final, então a solução implícita da EDO é:
Onde
é uma constante real.
Resposta
A EDO é exata em todas as regiões do plano
exceto no ponto
. Para essas regiões, a solução implícita é dada por:
onde
.
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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
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Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
e
.
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
;