Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial e determinar as regiões do plano onde as condições do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. Para isso, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações diferenciais onde as variáveis podem ser separadas em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Começamos multiplicando ambos os lados da equação por :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, reescrevemos a equação para separar de :
Assim, integrando ambos os lados, obtemos:

Passo 4

Calculamos as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar, temos:
Podemos renomear como uma nova constante , assim:

Passo 6

Para expressar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Onde é uma constante real.

Passo 7

Agora, para determinar as regiões do plano onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica, precisamos verificar onde a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas.
Ambas as funções são contínuas sempre que . Portanto, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano onde não é igual a zero.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , e as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano onde .

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Em quais regiões do plano podemos afirmar que a EDO
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre tal que seja solução (implícita) da equação exata.