Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
e determinar as regiões do plano
onde as condições do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. Para isso, vamos utilizar o método de separação de variáveis, que nos ajuda a resolver equações diferenciais onde as variáveis podem ser separadas em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Começamos multiplicando ambos os lados da equação por
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, reescrevemos a equação para separar
de
:
Assim, integrando ambos os lados, obtemos:
Passo 4
Calculamos as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar, temos:
Podemos renomear
como uma nova constante
, assim:
Passo 6
Para expressar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Onde
é uma constante real.
Passo 7
Agora, para determinar as regiões do plano
onde o Teorema de Existência e Unicidade se aplica, precisamos verificar onde a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas.
Ambas as funções são contínuas sempre que
. Portanto, as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano
onde
não é igual a zero.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, e as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas em todas as regiões do plano
onde
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
, onde
é uma função contínua em toda reta;
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
;
Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Em quais regiões do plano
podemos afirmar que a EDO
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre
tal que
seja solução (implícita) da equação exata.