Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Precisamos resolver a equação diferencial e determinar as regiões do plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária e vamos utilizar técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Podemos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro:
Dividindo ambos os lados por e multiplicando por :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. A integral de é , e a integral de é :
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para expressar em termos de , aplicamos a função seno em ambos os lados da equação:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.

Passo 5

Agora, vamos determinar as regiões do plano onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. O teorema garante uma solução única se as funções envolvidas forem contínuas e possuírem derivadas contínuas na região considerada.
Na nossa equação:
  • A função que multiplica é , que é contínua para todo .
  • A função do lado direito é , que é contínua quando , ou seja, .
Portanto, as hipóteses do teorema são satisfeitas nas regiões onde e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas nas regiões do plano onde e .

Exercícios relacionados

Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local) , onde é uma função contínua em toda reta;
Em quais regiões do plano podemos afirmar que a EDO
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre tal que seja solução (implícita) da equação exata.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada. , onde e .