Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Precisamos resolver a equação diferencial
e determinar as regiões do plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. Estamos lidando com uma equação diferencial ordinária e vamos utilizar técnicas de separação de variáveis para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Podemos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar a solução geral. A integral de
é
, e a integral de
é
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para expressar
em termos de
, aplicamos a função seno em ambos os lados da equação:
Esta é a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 5
Agora, vamos determinar as regiões do plano
onde as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas. O teorema garante uma solução única se as funções envolvidas forem contínuas e possuírem derivadas contínuas na região considerada.
Na nossa equação:
- A função que multiplica
é , que é contínua para todo . - A função do lado direito é
, que é contínua quando , ou seja, .
Portanto, as hipóteses do teorema são satisfeitas nas regiões onde
e
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
. As hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade são satisfeitas nas regiões do plano
onde
e
.
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Resolva cada uma das equações abaixo e estabeleça as regiões do plano ty em que são satisfeitas as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade:
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
, onde
é uma função contínua em toda reta;
Em quais regiões do plano
podemos afirmar que a EDO
é exata. Para cada uma destas regiões, encontre
tal que
seja solução (implícita) da equação exata.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
e
.