Seja
uma função contínua. Prove que:
(b) Se
para todo
e
, então
para todo
.
(b) Se
Passo 1
Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma função contínua
que nunca é negativa no intervalo
, ou seja,
para todo
nesse intervalo. Além disso, a integral de
de
a
é zero:
. Nosso objetivo é provar que, sob essas condições, a função
deve ser igual a zero em todo o intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e propriedades das integrais de funções contínuas.
Passo 2
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que existe pelo menos um ponto
em
onde
. Como
é contínua, podemos aplicar o teorema do valor médio, que nos diz que se uma função é contínua em um intervalo, então ela não “salta” de valor.
Passo 3
Devido à continuidade de
e sabendo que
, existe um pequeno intervalo ao redor de
, digamos
, onde
permanece positiva, ou seja,
para todo
nesse subintervalo. Isso significa que, nessa vizinhança, a função está acima de zero.
Passo 4
Agora, vamos considerar a integral de
nesse pequeno intervalo onde
. A integral de uma função positiva sobre um intervalo de comprimento positivo também será positiva:
Isso ocorre porque estamos somando áreas positivas.
Passo 5
Mas isso entra em conflito com a informação inicial de que a integral de
de
a
é zero:
Se parte da integral já é positiva, o total não poderia ser zero, a menos que todas as demais partes da integral compensem isso, o que não é possível já que
em todo o intervalo. Essa contradição nos mostra que nossa suposição de que existe um ponto
com
está errada.
Resposta
Portanto,
para todo
.