Seja uma função contínua. Prove que:
(b) Se para todo e , então para todo .

Passo 1

Vamos entender o que o problema está nos dizendo. Temos uma função contínua que nunca é negativa no intervalo , ou seja, para todo nesse intervalo. Além disso, a integral de de a é zero: . Nosso objetivo é provar que, sob essas condições, a função deve ser igual a zero em todo o intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade e propriedades das integrais de funções contínuas.

Passo 2

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que existe pelo menos um ponto em onde . Como é contínua, podemos aplicar o teorema do valor médio, que nos diz que se uma função é contínua em um intervalo, então ela não “salta” de valor.

Passo 3

Devido à continuidade de e sabendo que , existe um pequeno intervalo ao redor de , digamos , onde permanece positiva, ou seja, para todo nesse subintervalo. Isso significa que, nessa vizinhança, a função está acima de zero.

Passo 4

Agora, vamos considerar a integral de nesse pequeno intervalo onde . A integral de uma função positiva sobre um intervalo de comprimento positivo também será positiva:
Isso ocorre porque estamos somando áreas positivas.

Passo 5

Mas isso entra em conflito com a informação inicial de que a integral de de a é zero:
Se parte da integral já é positiva, o total não poderia ser zero, a menos que todas as demais partes da integral compensem isso, o que não é possível já que em todo o intervalo. Essa contradição nos mostra que nossa suposição de que existe um ponto com está errada.

Resposta

Portanto, para todo .

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