Seja T: R^2 R^2 um operado linear com v1=(2,3) e v2=(1,2) são autovetores associados aos autovalores lambda1=-2 e lambda2=-1 respectivamente. Calcule T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear que transforma vetores no plano. Sabemos que dois vetores específicos, e , são autovetores desse operador, ou seja, quando aplicamos nesses vetores, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor correspondente: para e para . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor do plano, ou seja, encontrar uma expressão para .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter autovetores e autovalores. Quando aplicamos o operador linear T(v) = lambda v em um autovetor , o resultado é simplesmente o autovetor multiplicado pelo seu autovalor :
Isso nos dá uma relação direta entre o operador linear, os autovetores e os autovalores.

Passo 3

Sabemos que qualquer vetor Se a v1 + b v2 = (0, 0), então a = b = 0 no plano pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores a(2,3) + b(1,2) = (0,0) Rightarrow (2a + b, 3a + 2b) = (0,0) e 2a + b = 0 3a + 2b = 0 , desde que eles sejam linearmente independentes. Vamos verificar a independência de (x, y) = c1v1 + c2v2 e :
ã
Calculando:
Isso resulta no sistema:
A única solução é , então e são linearmente independentes. Isso significa que podemos expressar qualquer vetor como:

Passo 4

Nosso próximo passo é encontrar os coeficientes 2c1 + c2 = x 3c1 + 2c2 = y e 4c1 + 2c2 = 2x que expressam (4c1 + 2c2) - (3c1 + 2c2) = 2x - y c1 = 2x - y como combinação linear de 2(2x - y) + c2 = x 4x - 2y + c2 = x c2 = x + 2y - 4x c2 = -3x + 2y e c1 = 2x - y c2 = -3x + 2y . Vamos resolver o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos a segunda equação dessa nova equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, temos:

Passo 5

Agora que temos T(x, y) = T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2) e T(x, y) = c1(-2v1) + c2(-1v2) = -2c1v1 - c2v2 , podemos aplicar o operador linear T(x, y) = -2(2x - y)(2,3) - (-3x + 2y)(1,2) no vetor :
Como sabemos que e :
Substituindo e :

Passo 6

Vamos multiplicar os escalares pelos vetores:
-2(2x - y)(2,3) = -2(2x - y) cdot 2, -2(2x - y) cdot 3 = (-4(2x - y), -6(2x - y)) -(-3x + 2y)(1,2) = (3x - 2y)(1,2) = (3x - 2y, 6x - 4y)
Agora, somamos os resultados:
T(x, y) = (-4(2x - y) + 3x - 2y, -6(2x - y) + 6x - 4y)

Passo 7

Vamos simplificar cada componente:
Primeira componente:
-4(2x - y) + 3x - 2y = -8x + 4y + 3x - 2y = (-8x + 3x) + (4y - 2y) = -5x + 2y
Segunda componente:
-6(2x - y) + 6x - 4y = -12x + 6y + 6x - 4y = (-12x + 6x) + (6y - 4y) = -6x + 2y

Resposta

Assim, o operador linear T(x, y) = (-5x + 2y, , -6x + 2y) é dado por:

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