Seja um operado linear com e são autovetores associados aos autovalores e respectivamente. Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear que transforma vetores no plano. Sabemos que dois vetores específicos, e , são autovetores desse operador, ou seja, quando aplicamos nesses vetores, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor correspondente: para e para . Nosso objetivo é descobrir como age em qualquer vetor do plano, ou seja, encontrar uma expressão para .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter autovetores e autovalores. Quando aplicamos o operador linear em um autovetor , o resultado é simplesmente o autovetor multiplicado pelo seu autovalor :
Isso nos dá uma relação direta entre o operador linear, os autovetores e os autovalores.
Passo 3
Sabemos que qualquer vetor no plano pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores e , desde que eles sejam linearmente independentes. Vamos verificar a independência de e :
Calculando:
Isso resulta no sistema:
A única solução é , então e são linearmente independentes. Isso significa que podemos expressar qualquer vetor como:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar os coeficientes e que expressam como combinação linear de e . Vamos resolver o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos a segunda equação dessa nova equação:
Agora, substituímos na primeira equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos e , podemos aplicar o operador linear no vetor :