Seja
um operado linear com
e
são autovetores associados aos autovalores
e
respectivamente. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um operador linear
que transforma vetores no plano. Sabemos que dois vetores específicos,
e
, são autovetores desse operador, ou seja, quando aplicamos
nesses vetores, o resultado é o próprio vetor multiplicado por um autovalor correspondente:
para
e
para
. Nosso objetivo é descobrir como
age em qualquer vetor
do plano, ou seja, encontrar uma expressão para
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter autovetores e autovalores. Quando aplicamos o operador linear
em um autovetor
, o resultado é simplesmente o autovetor multiplicado pelo seu autovalor
:
Isso nos dá uma relação direta entre o operador linear, os autovetores e os autovalores.
Passo 3
Sabemos que qualquer vetor
no plano pode ser escrito como uma combinação linear dos autovetores
e
, desde que eles sejam linearmente independentes. Vamos verificar a independência de
e
:
Calculando:
Isso resulta no sistema:
A única solução é
, então
e
são linearmente independentes. Isso significa que podemos expressar qualquer vetor
como:
Passo 4
Nosso próximo passo é encontrar os coeficientes
e
que expressam
como combinação linear de
e
. Vamos resolver o sistema:
Podemos resolver esse sistema usando método de substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos a segunda equação dessa nova equação:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Então, temos:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos aplicar o operador linear
no vetor
:
Como sabemos que
e
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Vamos multiplicar os escalares pelos vetores:
Agora, somamos os resultados:
Passo 7
Vamos simplificar cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Resposta
Assim, o operador linear
é dado por: