Uma relação entre p, V e T para a mesma quantidade matéria de gases ideais em duas condições é: p1 V1T1=p2 V2T2. Deduza essa expressão a partir da lei dos gases ideais, pV=nRT.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa derivar a relação p1 V1T1=p2 V2T2 partindo da lei dos gases ideais, que é pV = nRT. Isso faz parte da matéria de Termodinâmica, especificamente sobre o comportamento dos gases ideais. Para resolver, vamos precisar entender o que cada variável representa e como a lei dos gases ideais funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que cada símbolo na fórmula da lei dos gases ideais significa:
  • p é a pressão do gás,
  • V é o volume que o gás ocupa,
  • n é a quantidade de matéria, ou seja, o número de mols do gás,
  • R é a constante dos gases ideais,
  • T é a temperatura absoluta do gás.
Essa lei nos diz que o produto da pressão pelo volume de um gás ideal é igual ao produto do número de mols, da constante R e da temperatura.

Passo 3

Agora, como o enunciado fala de duas condições diferentes para a mesma quantidade de matéria, isso significa que o número de mols n e a constante R permanecem constantes nas duas situações. Vamos chamar a primeira condição de índice 1 e a segunda de índice 2. Então, podemos escrever a lei dos gases ideais para cada condição:
Para a condição 1:
p1 V1 = n R T1
Para a condição 2:
p2 V2 = n R T2

Passo 4

Agora, como n e R são os mesmos nas duas condições, podemos relacionar as duas equações. Uma maneira fácil de fazer isso é dividir a primeira equação pela segunda. Vamos fazer isso:
p1 V1n R T1 = p2 V2n R T2

Passo 5

Observando a equação acima, vemos que n R aparece tanto no numerador quanto no denominador de ambos os lados da igualdade. Isso significa que podemos simplificar a equação cancelando esses termos:
p1 V1T1 = p2 V2T2

Resposta

A relação entre as duas condições para a mesma quantidade de gás ideal é:
p1 V1T1 = p2 V2T2

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