Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(e) (x-y)(x^3+x^2 y+x y^2+y^3)=x^4-y^4;

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é a questão: temos que verificar se a expressão é igual a . Aqui, vamos usar conhecimentos de multiplicação de polinômios e propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como multiplicar dois polinômios. Quando multiplicamos por , precisamos distribuir cada termo do primeiro polinômio por cada termo do segundo. Isso significa que cada termo em vai multiplicar cada termo em .

Passo 3

Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
(x - y)(x^3 + x^2 y + x y^2 + y^3) = x cdot x^3 + x cdot x^2 y + x cdot x y^2 + x cdot y^3 - y cdot x^3 - y cdot x^2 y - y cdot x y^2 - y cdot y^3

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada termo:
x cdot x^3 = x^4
x cdot x^2 y = x^3 y
x cdot x y^2 = x^2 y^2
x cdot y^3 = x y^3
- y cdot x^3 = -x^3 y
- y cdot x^2 y = -x^2 y^2
- y cdot x y^2 = -x y^3
- y cdot y^3 = -y^4
Agora, vamos juntar todos esses termos:
x^4 + x^3 y + x^2 y^2 + x y^3 - x^3 y - x^2 y^2 - x y^3 - y^4

Passo 5

Observe que alguns termos se cancelam:
x^3 y - x^3 y = 0
x^2 y^2 - x^2 y^2 = 0
x y^3 - x y^3 = 0
Assim, sobra:
x^4 - y^4

Resposta

Portanto, verificamos que é verdadeiro.

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Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa: T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y, x-2 y).
(a) (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2);
Com relação a transformação linear T: P2 P1 dada por T(c+b x+a x^2)=b+c+a x, para todo p(x)=c+b x+a x^2 Responda: Determine dim(Ker(T)) e dim(Im(T))
Seja T: P2 P2 a transformação linear dada por (derivadas): Encontre a matriz T(p(x))=x cdot p^prime(x)+p^prime iiii que representa [T]beta^beta na base T.