Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa: T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x+y, x-2 y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação linear específica é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Estamos lidando com transformações lineares, que são funções que passam por todos os pontos do espaço vetorial de forma “reta” e “coerente”. Para resolver isso, vamos precisar usar a ideia de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a transformação é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é A = 2 & 1 1 & -2 . Podemos representar isso como a matriz:
Essa matriz nos ajuda a trabalhar com a transformação de forma mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = (a cdot d) - (b cdot c) . O determinante nos diz se a matriz (e, por consequência, a transformação linear) é invertível. A regra para calcular o determinante de uma matriz 2x2 é:
det(A) = (2 cdot -2) - (1 cdot 1) = -4 - 1 = -5
Aplicando isso à nossa matriz:
Como o determinante é diferente de zero ( ), isso significa que a transformação é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que a transformação é invertível, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
A^-1 = 1-5 -2 & -1 -1 & 2 = 25 & 15 15 & -25
Substituindo os valores da nossa matriz:

Resposta

A transformação linear T^-1(x, y) = ( 25x + 15y, 15x - 25y ) é invertível, e a sua inversa é dada por:

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(a) (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2);
Sejam T: R^2 R^2 e S: R^3 R^2 transformações lineares. Se [T]=(cc1 & 2 -1 & 3) e [S]=(ccc1 & 0 & -1 2 & 1 & 1), ache (T circ S)(x, y).
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(e) (x-y)(x^3+x^2 y+x y^2+y^3)=x^4-y^4;
Com relação a transformação linear T: P2 P1 dada por T(c+b x+a x^2)=b+c+a x, para todo p(x)=c+b x+a x^2 Responda: Determine dim(Ker(T)) e dim(Im(T))