Verifique quais transformações lineares são invertíveis e encontre sua inversa:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se uma transformação linear específica é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Estamos lidando com transformações lineares, que são funções que passam por todos os pontos do espaço vetorial de forma “reta” e “coerente”. Para resolver isso, vamos precisar usar a ideia de determinante de uma matriz, que nos ajuda a saber se a transformação é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é
. Podemos representar isso como a matriz:
Essa matriz nos ajuda a trabalhar com a transformação de forma mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz
. O determinante nos diz se a matriz (e, por consequência, a transformação linear) é invertível. A regra para calcular o determinante de uma matriz 2x2 é:
Aplicando isso à nossa matriz:
Como o determinante é diferente de zero (
), isso significa que a transformação
é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que a transformação é invertível, vamos encontrar a matriz inversa
. A fórmula para a inversa de uma matriz 2x2 é:
Substituindo os valores da nossa matriz:
Resposta
A transformação linear
é invertível, e a sua inversa é dada por:
Exercícios relacionados
(a)
;
Sejam
e
transformações lineares. Se
e
, ache
.
Ex. 3. Verifique as seguintes identidades:
(e) ;
(e)
Com relação a transformação linear
dada por
Responda: Determine
e