Use o Processo de Ortonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base alpha subset V no produto interno indicado: alpha=(1,2,1),(2,0,-2),(-4,-4,4), com produto interno usual de R^3.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um conjunto de vetores alpha = (1,2,1),(2,0,-2),(-4,-4,4) em R^3 e queremos transformá-los em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos ajustar esses vetores para que eles sejam perpendiculares entre si e cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto interno e normalização.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base, v1 = (1,2,1), e normalizá-lo. Normalizar significa dividir o vetor pelo seu próprio comprimento para que ele tenha comprimento 1.
O comprimento de v1 é dado por:
|v1| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
Então, o primeiro vetor da nossa base ortonormal será:
u1 = v1|v1| = ( 1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 )

Passo 3

Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor, v2 = (2,0,-2), em relação a u1. Isso significa que vamos retirar a parte de v2 que está na direção de u1.
Primeiro, calculamos o produto interno entre v2 e u1:
lang<= v2, u1 rang<= = 2 cdot 1raiz6 + 0 cdot 2raiz6 + (-2) cdot 1raiz6 = 2raiz6 - 2raiz6 = 0
Como o produto interno é zero, v2 já é ortogonal a u1. Então, só precisamos normalizar v2.
O comprimento de v2 é:
|v2| = raiz2^2 + 0^2 + (-2)^2 = raiz4 + 0 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Então, o segundo vetor da base ortonormal será:
u2 = v2|v2| = ( 22raiz2, 02raiz2, -22raiz2 ) = ( 1raiz2, 0, -1raiz2 )

Passo 4

Por último, vamos ortogonalizar o terceiro vetor, v3 = (-4,-4,4), em relação a u1 e u2. Isso envolve retirar de v3 as componentes nas direções de u1 e u2.
Primeiro, calculamos os produtos internos:
lang<= v3, u1 rang<= = (-4) cdot 1raiz6 + (-4) cdot 2raiz6 + 4 cdot 1raiz6 = -4 -8 +4raiz6 = -8raiz6
lang<= v3, u2 rang<= = (-4) cdot 1raiz2 + (-4) cdot 0 + 4 cdot -1raiz2 = -4 -4raiz2 = -8raiz2
Agora, retiramos essas componentes de v3:
w = v3 - lang<= v3, u1 rang<= u1 - lang<= v3, u2 rang<= u2
w = (-4,-4,4) - ( -8raiz6 ) ( 1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 ) - ( -8raiz2 ) ( 1raiz2, 0, -1raiz2 )
Simplificando:
w = (-4,-4,4) + ( 86, 166, 86 ) + ( 82, 0, -82 )
w = ( -4 + 43 + 4, -4 + 83 + 0, 4 + 43 -4 )
w = ( -12 + 4 + 123, -12 + 83, 12 + 4 -123 ) = ( 43, -43, 43 )
Agora, vamos normalizar o vetor w:
|w| = raiz( 43 )^2 + ( -43 )^2 + ( 43 )^2 = raiz 169 + 169 + 169 = raiz 489 = raiz 163 = 4raiz3
Então, o terceiro vetor da base ortonormal será:
u3 = w|w| = ( 434raiz3, -434raiz3, 434raiz3 ) = ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é:
( 1raiz6, 2raiz6, 1raiz6 ), ( 1raiz2, 0, -1raiz2 ), ( 1raiz3, -1raiz3, 1raiz3 )

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