Use o Processo de Ortonalização de Gram-Schmidt para ortonormalizar a base
no produto interno indicado:
, com produto interno usual de
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um conjunto de vetores
em
e queremos transformá-los em uma base ortonormal usando o processo de Gram-Schmidt. Isso significa que vamos ajustar esses vetores para que eles sejam perpendiculares entre si e cada um tenha comprimento 1. Para isso, vamos precisar usar conceitos de produto interno e normalização.
Passo 2
Primeiro, vamos pegar o primeiro vetor da base,
, e normalizá-lo. Normalizar significa dividir o vetor pelo seu próprio comprimento para que ele tenha comprimento 1.
O comprimento de
é dado por:
Então, o primeiro vetor da nossa base ortonormal será:
Passo 3
Agora, vamos ortogonalizar o segundo vetor,
, em relação a
. Isso significa que vamos retirar a parte de
que está na direção de
.
Primeiro, calculamos o produto interno entre
e
:
Como o produto interno é zero,
já é ortogonal a
. Então, só precisamos normalizar
.
O comprimento de
é:
Então, o segundo vetor da base ortonormal será:
Passo 4
Por último, vamos ortogonalizar o terceiro vetor,
, em relação a
e
. Isso envolve retirar de
as componentes nas direções de
e
.
Primeiro, calculamos os produtos internos:
Agora, retiramos essas componentes de
:
Simplificando:
Agora, vamos normalizar o vetor
:
Então, o terceiro vetor da base ortonormal será:
Resposta
A base ortonormal obtida pelo processo de Gram-Schmidt é: