Verdadeiro ou falso? (u, v) é LD Rightarrow(u, v, w) é LD.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão pergunta se a afirmação “Se o par de vetores (u, v) é linearmente dependente, então o trio de vetores (u, v, w) também é linearmente dependente” é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com os conceitos de Dependência Linear da Álgebra Linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são linearmente dependentes. Dois vetores (u, v) são linearmente dependentes se existir um escalar lambda tal que u = lambda v ou v = lambda u. Em outras palavras, um vetor pode ser escrito como múltiplo do outro.

Passo 3

Agora, vamos analisar o trio de vetores (u, v, w). Para que esses três vetores sejam linearmente dependentes, deve existir uma combinação linear não trivial que resulte no vetor zero:
au + bv + cw = 0
onde pelo menos um dos coeficientes a, b, ou c é diferente de zero.

Passo 4

Sabemos que (u, v) é linearmente dependente, ou seja, u = lambda v. Substituindo isso na combinação linear dos três vetores:
a(lambda v) + bv + cw = 0
Simplificando:
(alambda + b)v + cw = 0
Aqui, se escolhermos a = 1, b = -lambda, e c = 0, teremos:
(1cdotlambda - lambda)v + 0w = 0
Isso confirma que existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero, provando que o trio é linearmente dependente.

Resposta

Verdadeiro.

Exercícios relacionados