Verdadeiro ou falso?
é
é LD.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A questão pergunta se a afirmação “Se o par de vetores
é linearmente dependente, então o trio de vetores
também é linearmente dependente” é verdadeira ou falsa. Vamos trabalhar com os conceitos de Dependência Linear da Álgebra Linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois vetores são linearmente dependentes. Dois vetores
são linearmente dependentes se existir um escalar
tal que
ou
. Em outras palavras, um vetor pode ser escrito como múltiplo do outro.
Passo 3
Agora, vamos analisar o trio de vetores
. Para que esses três vetores sejam linearmente dependentes, deve existir uma combinação linear não trivial que resulte no vetor zero:
onde pelo menos um dos coeficientes
,
, ou
é diferente de zero.
Passo 4
Sabemos que
é linearmente dependente, ou seja,
. Substituindo isso na combinação linear dos três vetores:
Simplificando:
Aqui, se escolhermos
,
, e
, teremos:
Isso confirma que existe uma combinação não trivial que resulta no vetor zero, provando que o trio é linearmente dependente.
Resposta
Verdadeiro.