Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível: f(x, y) = sen^2(x) + sen^2(y)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos relacioná-la aos seus respectivos gráficos e curvas de nível. Isso envolve compreender como a função se comporta no espaço tridimensional e como as suas curvas de nível se parecem no plano . Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis, gráficos 3D e curvas de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . Sabemos que o seno ao quadrado de qualquer ângulo varia entre 0 e 1, ou seja, e . Assim, a soma dessas duas funções também terá um intervalo de valores possíveis. Isso nos ajuda a entender os limites do gráfico e das curvas de nível.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante, ou seja, , onde é uma constante. Então, temos:
Como já vimos, varia entre 0 e 2 (já que cada seno ao quadrado varia entre 0 e 1). Dependendo do valor de , as curvas de nível terão formas diferentes:
  • Para : e , ou seja, pontos onde e são múltiplos de .
  • Para : As curvas são combinações das funções senoidais, formando padrões ondulados.
  • Para : e , ou seja, pontos onde e são ímpares múltiplos de .

Passo 4

Vamos pensar agora no gráfico 3D da função. Como é a soma de duas funções seno ao quadrado, o gráfico será uma superfície oscilante que varia entre 0 e 2. Cada ponto no plano terá uma altura que depende dos valores de e . Essa superfície terá montanhas e vales periódicos devido à natureza oscilante das funções seno.

Passo 5

Com todas essas informações, podemos relacionar a função aos seus gráficos e curvas de nível. As curvas de nível mostram padrões ondulados no plano , enquanto o gráfico 3D apresenta uma superfície periódica com alturas variando entre 0 e 2. A periodicidade das funções seno faz com que tanto o gráfico quanto as curvas de nível se repitam em intervalos regulares.

Resposta

A função possui um gráfico tridimensional que forma uma superfície periódica com variações entre 0 e 2, e suas curvas de nível no plano apresentam padrões ondulados que se repetem regularmente. Essa relação mostra que o gráfico é uma combinação das oscilações das funções seno em ambas as direções e , resultando em uma estrutura visualmente simétrica e repetitiva.

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