Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos relacioná-la aos seus respectivos gráficos e curvas de nível. Isso envolve compreender como a função se comporta no espaço tridimensional e como as suas curvas de nível se parecem no plano
. Para isso, vamos usar conhecimentos de funções de duas variáveis, gráficos 3D e curvas de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. Sabemos que o seno ao quadrado de qualquer ângulo varia entre 0 e 1, ou seja,
e
. Assim, a soma dessas duas funções também terá um intervalo de valores possíveis. Isso nos ajuda a entender os limites do gráfico e das curvas de nível.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante. Então, temos:
Como já vimos,
varia entre 0 e 2 (já que cada seno ao quadrado varia entre 0 e 1). Dependendo do valor de
, as curvas de nível terão formas diferentes:
- Para
: e , ou seja, pontos onde e são múltiplos de . - Para
: As curvas são combinações das funções senoidais, formando padrões ondulados. - Para
: e , ou seja, pontos onde e são ímpares múltiplos de .
Passo 4
Vamos pensar agora no gráfico 3D da função. Como
é a soma de duas funções seno ao quadrado, o gráfico será uma superfície oscilante que varia entre 0 e 2. Cada ponto
no plano
terá uma altura
que depende dos valores de
e
. Essa superfície terá montanhas e vales periódicos devido à natureza oscilante das funções seno.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos relacionar a função
aos seus gráficos e curvas de nível. As curvas de nível mostram padrões ondulados no plano
, enquanto o gráfico 3D apresenta uma superfície periódica com alturas variando entre 0 e 2. A periodicidade das funções seno faz com que tanto o gráfico quanto as curvas de nível se repitam em intervalos regulares.
Resposta
A função
possui um gráfico tridimensional que forma uma superfície periódica com variações entre 0 e 2, e suas curvas de nível no plano
apresentam padrões ondulados que se repetem regularmente. Essa relação mostra que o gráfico é uma combinação das oscilações das funções seno em ambas as direções
e
, resultando em uma estrutura visualmente simétrica e repetitiva.