Seja S o sólido limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 18 e abaixo pelo cone z = raiz(x^2 + y^2). Escreva o volume de S em termos de integral dupla nas seguintes coordenadas: (Não precisa resolver a integral!!)
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido chamado S. Esse sólido é limitado por duas superfícies: de cima, uma esfera com a equação x^2 + y^2 + z^2 = 18, e de baixo, um cone dado por z = raiz(x^2 + y^2). A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o uso de integrais duplas em coordenadas cartesianas para calcular volumes. Vamos precisar entender como definir os limites de integração e expressar a função que representa a altura do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que tá rolando. Temos uma esfera e um cone. O sólido S está entre essas duas superfícies. Para calcular o volume usando integrais duplas em coordenadas cartesianas, a gente precisa expressar a altura do sólido em termos de z e depois integrar isso sobre a região D no plano xy.
A altura do sólido é a diferença entre a parte superior e a parte inferior. Aqui, a parte superior é a esfera, cuja equação resolvida para z fica:
E a parte inferior é o cone:
Então, a altura do sólido em cada ponto (x, y) é:

Passo 3

Agora, precisamos definir a região D no plano xy onde vamos integrar. Isso acontece na interseção entre a esfera e o cone. Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Então, a região D é o círculo de raio centrado na origem.

Passo 4

Com a região D definida, podemos montar a integral dupla para o volume. A gente vai integrar a altura do sólido sobre essa região. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Onde D é o círculo .

Resposta

O volume de S em coordenadas cartesianas é dado por:

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