Seja
o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
. Escreva o volume de
em termos de integral dupla nas seguintes coordenadas: (Não precisa resolver a integral!!)
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido chamado
. Esse sólido é limitado por duas superfícies: de cima, uma esfera com a equação
, e de baixo, um cone dado por
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o uso de integrais duplas em coordenadas cartesianas para calcular volumes. Vamos precisar entender como definir os limites de integração e expressar a função que representa a altura do sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que tá rolando. Temos uma esfera e um cone. O sólido
está entre essas duas superfícies. Para calcular o volume usando integrais duplas em coordenadas cartesianas, a gente precisa expressar a altura do sólido em termos de
e depois integrar isso sobre a região
no plano
.
A altura do sólido é a diferença entre a parte superior e a parte inferior. Aqui, a parte superior é a esfera, cuja equação resolvida para
fica:
E a parte inferior é o cone:
Então, a altura do sólido em cada ponto
é:
Passo 3
Agora, precisamos definir a região
no plano
onde vamos integrar. Isso acontece na interseção entre a esfera e o cone. Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Então, a região
é o círculo de raio
centrado na origem.
Passo 4
Com a região
definida, podemos montar a integral dupla para o volume. A gente vai integrar a altura do sólido sobre essa região. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Onde
é o círculo
.
Resposta
O volume de
em coordenadas cartesianas é dado por:
Exercícios relacionados
Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
Encontre escolhas apropriadas de
e de
para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(d)
(d)
Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
, com
e
. Escreva a integral
nas coordenadas:
(a) esféricas.
(a) esféricas.
Seja E o sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
, com
e
. Escreva a integral
nas coordenadas:
(b) cilíndricas.
(b) cilíndricas.