Seja o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone . Escreva o volume de em termos de integral dupla nas seguintes coordenadas: (Não precisa resolver a integral!!)
a) Coordenadas Cartesianas (Retangulares).

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício que pede para encontrar o volume de um sólido chamado . Esse sólido é limitado por duas superfícies: de cima, uma esfera com a equação , e de baixo, um cone dado por . A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente o uso de integrais duplas em coordenadas cartesianas para calcular volumes. Vamos precisar entender como definir os limites de integração e expressar a função que representa a altura do sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que tá rolando. Temos uma esfera e um cone. O sólido está entre essas duas superfícies. Para calcular o volume usando integrais duplas em coordenadas cartesianas, a gente precisa expressar a altura do sólido em termos de e depois integrar isso sobre a região no plano .
A altura do sólido é a diferença entre a parte superior e a parte inferior. Aqui, a parte superior é a esfera, cuja equação resolvida para fica:
E a parte inferior é o cone:
Então, a altura do sólido em cada ponto é:

Passo 3

Agora, precisamos definir a região no plano onde vamos integrar. Isso acontece na interseção entre a esfera e o cone. Para achar essa interseção, igualamos as duas equações:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Simplificando:
Então, a região é o círculo de raio centrado na origem.

Passo 4

Com a região definida, podemos montar a integral dupla para o volume. A gente vai integrar a altura do sólido sobre essa região. Em coordenadas cartesianas, a integral fica assim:
Onde é o círculo .

Resposta

O volume de em coordenadas cartesianas é dado por:

Exercícios relacionados

Relacione as funções abaixo aos seus respectivos gráficos e curvas de nível:
Encontre escolhas apropriadas de e de para a integração por partes de cada integral. Não calcule a integral.
(d)
Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(a) esféricas.
Seja E o sólido limitado acima pela esfera e abaixo pelo cone , com e . Escreva a integral nas coordenadas:
(b) cilíndricas.