*relatividade
Carina está em um trem que se move a
em relaçào à estação. Ela mede o comprimento do vagào em que está e encontra 40 m como resultado. Roberto está parado na plataforma da estação, quando o trem passa por ele. Roberto mede o tempo que leva para o vagão passar por ele e multiplica este tempo por
para determinar o comprimento do vagão. Qual é o comprimento do vagão, segundo o cálculo de Roberto?
Carina está em um trem que se move a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre relatividade, especificamente sobre como diferentes observadores medem o comprimento de um vagão de trem quando ele está se movendo em alta velocidade. Carina está dentro do trem que se move a 0,80 vezes a velocidade da luz (
) em relação à estação. Ela mede o comprimento do vagão e obtém 40 metros. Já Roberto está parado na estação e mede o tempo que o vagão leva para passar por ele. Ele multiplica esse tempo por
para determinar o comprimento do vagão. Queremos descobrir qual é o comprimento do vagão segundo o cálculo de Roberto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conceito de contração do comprimento na teoria da relatividade especial. Quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o comprimento desse objeto medido pelo observador é menor do que o comprimento medido pelo próprio objeto em repouso.
A fórmula para calcular o comprimento observado (
) por alguém que vê o objeto se movendo é:
Onde:
-
é o comprimento no referencial do objeto (no caso, 40 metros medidos por Carina), -
é a velocidade relativa entre o objeto e o observador ( ), -
é a velocidade da luz.
Passo 3
Vamos calcular o fator de contração:
Passo 4
Agora, aplicando esse fator ao comprimento medido por Carina:
Isso significa que, para Roberto na estação, o vagão parece mais curto devido à velocidade do trem.
Passo 5
Alternativamente, se quisermos seguir exatamente o método de Roberto, que mede o tempo que o vagão leva para passar por ele e multiplica por
, podemos verificar se obtemos o mesmo resultado.
Primeiro, vamos encontrar o tempo que o vagão leva para passar por Roberto. Sabemos que:
Onde:
-
é o comprimento do vagão na perspectiva de Roberto (que queremos encontrar), -
é a velocidade do trem ( ), -
é o tempo medido por Roberto.
Rearranjando a fórmula:
Substituindo na equação original:
Perceba que, na verdade, essa abordagem é consistente com a fórmula da contração do comprimento que já aplicamos. Portanto, ambos os métodos levam ao mesmo resultado.
Resposta
O comprimento do vagão, segundo o cálculo de Roberto, é de 24 metros.