*relatividade
Carina está em um trem que se move a 0,80 c em relaçào à estação. Ela mede o comprimento do vagào em que está e encontra 40 m como resultado. Roberto está parado na plataforma da estação, quando o trem passa por ele. Roberto mede o tempo que leva para o vagão passar por ele e multiplica este tempo por 0,80 c para determinar o comprimento do vagão. Qual é o comprimento do vagão, segundo o cálculo de Roberto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre relatividade, especificamente sobre como diferentes observadores medem o comprimento de um vagão de trem quando ele está se movendo em alta velocidade. Carina está dentro do trem que se move a 0,80 vezes a velocidade da luz ( 0,80 c) em relação à estação. Ela mede o comprimento do vagão e obtém 40 metros. Já Roberto está parado na estação e mede o tempo que o vagão leva para passar por ele. Ele multiplica esse tempo por 0,80 c para determinar o comprimento do vagão. Queremos descobrir qual é o comprimento do vagão segundo o cálculo de Roberto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conceito de contração do comprimento na teoria da relatividade especial. Quando um objeto se move a uma velocidade próxima à da luz em relação a um observador, o comprimento desse objeto medido pelo observador é menor do que o comprimento medido pelo próprio objeto em repouso.
A fórmula para calcular o comprimento observado ( L) por alguém que vê o objeto se movendo é:
L = L' times raiz1 - v^2c^2
Onde:
  • L' é o comprimento no referencial do objeto (no caso, 40 metros medidos por Carina),
  • v é a velocidade relativa entre o objeto e o observador ( 0,80 c),
  • c é a velocidade da luz.

Passo 3

Vamos calcular o fator de contração:
raiz1 - v^2c^2 = raiz1 - (0,80)^2 = raiz1 - 0,64 = raiz0,36 = 0,6

Passo 4

Agora, aplicando esse fator ao comprimento medido por Carina:
L = 40, m times 0,6 = 24, m
Isso significa que, para Roberto na estação, o vagão parece mais curto devido à velocidade do trem.

Passo 5

Alternativamente, se quisermos seguir exatamente o método de Roberto, que mede o tempo que o vagão leva para passar por ele e multiplica por 0,80 c, podemos verificar se obtemos o mesmo resultado.
Primeiro, vamos encontrar o tempo que o vagão leva para passar por Roberto. Sabemos que:
L = v times t
Onde:
  • L é o comprimento do vagão na perspectiva de Roberto (que queremos encontrar),
  • v é a velocidade do trem ( 0,80 c),
  • t é o tempo medido por Roberto.
Rearranjando a fórmula:
t = Lv
Substituindo na equação original:
L = v times Lv = L
Perceba que, na verdade, essa abordagem é consistente com a fórmula da contração do comprimento que já aplicamos. Portanto, ambos os métodos levam ao mesmo resultado.

Resposta

O comprimento do vagão, segundo o cálculo de Roberto, é de 24 metros.

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