Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
r(t) = (cos(2t), sen(2t)), t in [0, pi]

Passo 1

Vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Isso significa que vamos expressar a curva em função do comprimento percorrido ao longo dela, em vez de usar o parâmetro . Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas vetoriais e integração para calcular o comprimento de arco.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva vec(r)(t) em relação a t. Isso nos dará a velocidade da curva, que é essencial para calcular o comprimento de arco.

Passo 3

Agora, calculamos a magnitude da derivada , que representa a velocidade escalar da curva.
Então, a velocidade escalar é constante e igual a 2.

Passo 4

O próximo passo é calcular o comprimento de arco s(t) desde até um valor geral t. Como a velocidade é constante, a integração fica simples.
Portanto, temos que .

Passo 5

Para reparametrizar a curva em função do comprimento de arco s, precisamos expressar t em termos de s. A partir da relação , isolamos t:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão original da curva vec(r)(t) para obter a parametrização em termos de s:

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento de arco é , onde .

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Resolva as seguintes desigualdades
|x| - |x - 1| < x.
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty sen^2(pin)
Verifique se são convergentes: sumn=1^+infty 1raiz[n]10
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
{raiz(5)}_{n=1}^{\infty}.