Reparametrizar pelo comprimento de arco as seguintes curvas:
Passo 1
Vamos reparametrizar a curva pelo comprimento de arco. Isso significa que vamos expressar a curva em função do comprimento percorrido ao longo dela, em vez de usar o parâmetro
. Para fazer isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas vetoriais e integração para calcular o comprimento de arco.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da curva
em relação a
. Isso nos dará a velocidade da curva, que é essencial para calcular o comprimento de arco.
Passo 3
Agora, calculamos a magnitude da derivada
, que representa a velocidade escalar da curva.
Então, a velocidade escalar é constante e igual a 2.
Passo 4
O próximo passo é calcular o comprimento de arco
desde
até um valor geral
. Como a velocidade é constante, a integração fica simples.
Portanto, temos que
.
Passo 5
Para reparametrizar a curva em função do comprimento de arco
, precisamos expressar
em termos de
. A partir da relação
, isolamos
:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão original da curva
para obter a parametrização em termos de
:
Resposta
A reparametrização da curva pelo comprimento de arco é , onde
.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes desigualdades
.
Verifique se são convergentes:
Verifique se são convergentes:
Escreva os primeiros cinco termos das sequências abaixo. Determine se estas convergem ou divergem. Se convergirem, determine o limite.
.