Seja z=4(cos 5 pi21+i sen 5 pi21)
a. Determine o menor n inteiro positivo tal que z^n é negativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão:
Temos o número complexo . A pergunta é: qual é o menor número inteiro positivo tal que seja um número negativo?
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre números complexos e suas propriedades, especialmente a forma trigonométrica e as potências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma trigonométrica do número complexo z = r (cos theta + i sen theta) . Um número complexo na forma trigonométrica é dado por:
onde:
  • é o módulo de ,
  • é o argumento de (ou ângulo).
No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, para encontrar z^n = r^n ( cos (ntheta) + i sen (ntheta) ) , usamos a propriedade das potências de números complexos na forma trigonométrica:
Queremos que - |z^n| seja um número negativo. Um número negativo na reta real pode ser representado como:
sen (ntheta) = 0 e cos (ntheta) = -1
Isso significa que a parte imaginária deve ser zero e a parte real deve ser negativa. Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver essas duas condições:
  1. :
  2. sen (ntheta) = 0 implies ntheta = kpi onde k é inteiro :
    cos (ntheta) = -1 implies ntheta = pi + 2kpi = (2k + 1)pi onde k é inteiro é
A segunda condição é mais específica e nos dá diretamente os valores de que fazem ser negativo.

Passo 5

Substituindo n cdot 5pi21 = (2k + 1)pi na equação n cdot 521 = 2k + 1 :
n = 215 (2k + 1)
Podemos cancelar dos dois lados:
Resolvendo para :
Queremos o menor inteiro positivo , então buscamos o menor que torna inteiro.

Passo 6

Vamos testar valores de n = 215 (2(0) + 1) = 215 = 4.2 (não é inteiro) :
  • Para n = 215 (2(1) + 1) = 215 times 3 = 635 = 12.6 (não é inteiro) :
    n = 215 (2(2) + 1) = 215 times 5 = 21 (inteiro) ãé
  • Para :
    ãé
  • Para :

Passo 7

Encontramos que para , é um número inteiro. Portanto, o menor inteiro positivo que satisfaz a condição é 21.

Resposta

O menor número inteiro positivo tal que é negativo é .

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