Seja
a. Determine o menor
inteiro positivo tal que
é negativo.
a. Determine o menor
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte questão:
Temos o número complexo . A pergunta é: qual é o menor número inteiro positivo
tal que
seja um número negativo?
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre números complexos e suas propriedades, especialmente a forma trigonométrica e as potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma trigonométrica do número complexo
. Um número complexo na forma trigonométrica é dado por:
onde:
-
é o módulo de , -
é o argumento de (ou ângulo).
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar
, usamos a propriedade das potências de números complexos na forma trigonométrica:
Queremos que
seja um número negativo. Um número negativo na reta real pode ser representado como:
Isso significa que a parte imaginária deve ser zero e a parte real deve ser negativa. Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver essas duas condições:
-
:
-
:
A segunda condição é mais específica e nos dá diretamente os valores de
que fazem
ser negativo.
Passo 5
Substituindo
na equação
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Resolvendo para
:
Queremos o menor inteiro positivo
, então buscamos o menor
que torna
inteiro.
Passo 6
Vamos testar valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 7
Encontramos que para
,
é um número inteiro. Portanto, o menor inteiro positivo
que satisfaz a condição é 21.
Resposta
O menor número inteiro positivo
tal que
é negativo é
.