Se theta é um ângulo do 3^o quadrante e sen theta=-45, calcule cos 5 theta e sen 5 theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de trigonometria juntos! A gente tem um ângulo theta que está no terceiro quadrante e sabe que sin theta = -45. Nosso objetivo é calcular cos 5theta e sin 5theta. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de múltiplos ângulos e lembrar das relações trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, como theta está no terceiro quadrante, sabemos que tanto o seno quanto o cosseno desse ângulo são negativos. Já temos o valor de sin theta = -45. Vamos usar a identidade trigonométrica sin^2 theta + cos^2 theta = 1 para encontrar cos theta.

Passo 3

Vamos substituir o valor de sin theta na identidade:
(-45)^2 + cos^2 theta = 1 1625 + cos^2 theta = 1 cos^2 theta = 1 - 1625 cos^2 theta = 925
Como theta está no terceiro quadrante, cos theta também é negativo:
cos theta = -35

Passo 4

Agora, vamos calcular cos 5theta e sin 5theta usando as fórmulas de múltiplos ângulos. As fórmulas são:
cos 5theta = 16cos^5 theta - 20cos^3 theta + 5cos theta sin 5theta = 5sin theta - 20sin^3 theta + 16sin^5 theta

Passo 5

Vamos calcular cos 5theta primeiro:
Substituindo cos theta = -35 na fórmula:
cos 5theta = 16(-35)^5 - 20(-35)^3 + 5(-35)
Calculando cada termo:
(-35)^5 = -2433125 (-35)^3 = -27125
Substituindo de volta:
cos 5theta = 16 (-2433125) - 20 (-27125) + 5 (-35) = -38883125 + 540125 - 3 = -38883125 + 135003125 - 93753125 = -3888 + 13500 - 93753125 = 3373125

Passo 6

Agora, vamos calcular sin 5theta usando a fórmula:
sin 5theta = 5sin theta - 20sin^3 theta + 16sin^5 theta
Substituindo sin theta = -45:
sin 5theta = 5(-45) - 20(-45)^3 + 16(-45)^5
Calculando cada termo:
(-45)^3 = -64125 (-45)^5 = -10243125
Substituindo de volta:
sin 5theta = -4 - 20 (-64125) + 16 (-10243125) = -4 + 1280125 - 163843125 = -4 + 1280 times 253125 - 163843125 = -4 + 320003125 - 163843125 = -4 times 3125 + 32000 - 163843125 = -12500 + 32000 - 163843125 = 3123125

Resposta

Portanto, as soluções são:
cos 5theta = 3373125 sin 5theta = 3123125

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