Representar graficamente as retas de equações:
(a) lx=1-lambda y=-1+2 lambda z=2+lambda;
(b) ly=-x z=x+3;
© x=y=z;
(d) ly=2 x z=3;
(e) ly=4 z=2 x;
(f) ly=3 z=-1;
(g) lx=3 y=-4;
(h) lx=-3 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa aqui é representar graficamente várias retas definidas por diferentes sistemas de equações. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas e vetores direção. Precisamos entender como cada equação define uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos começar com a letra (a). A equação dada é:
l x = 1 - lambda y = -1 + 2lambda z = 2 + lambda
Essa é uma representação paramétrica da reta, onde é o parâmetro.

Passo 3

Para representar graficamente essa reta, precisamos identificar um ponto inicial e o vetor direção. Observe que, quando x = 1, y = -1, z = 2 :
Então, o ponto inicial é .

Passo 4

O vetor direção pode ser identificado pelos coeficientes de d = (-1, 2, 1) nas equações:
Isso significa que a reta passa por e se move na direção do vetor .

Passo 5

Com o ponto inicial e o vetor direção , podemos desenhar a reta no espaço tridimensional. Basta marcar o ponto e seguir na direção do vetor , estendendo a reta em ambos os sentidos.

Passo 6

Vamos para a letra (b). A equação é:
l y = -x z = x + 3
Aqui, temos duas equações que relacionam , e .

Passo 7

Podemos parametrizar essa reta escolhendo y = -lambda z = lambda + 3 . Então:
l x = lambda y = -lambda z = 3 + lambda
Portanto, a forma paramétrica é:

Passo 8

Identificando o ponto inicial quando P(0, 0, 3) :
d = (1, -1, 1)
E o vetor direção é:

Passo 9

Com e , desenhamos a reta no espaço seguindo o mesmo processo anterior.

Passo 10

Passando para a letra ©: .

Passo 11

Essa equação nos diz que todas as coordenadas são iguais. Então, podemos parametrizar com y = lambda z = lambda :
l x = lambda y = lambda z = lambda
Assim, a forma paramétrica é:

Passo 12

O ponto inicial é quando , e o vetor direção é .

Passo 13

Com esses dados, desenhamos a reta que passa pela origem e segue na direção .

Passo 14

Vamos para a letra (d):
l y = 2x z = 3

Passo 15

Aqui, y = 2lambda z = 3 é constante ( l x = lambda y = 2lambda z = 3 ), então a reta está no plano . Podemos parametrizar com :
Forma paramétrica:

Passo 16

O ponto inicial é e o vetor direção é .

Passo 17

Desenhamos essa reta no plano , saindo de na direção de .

Passo 18

Letra (e):
l y = 4 z = 2x

Passo 19

Aqui, y = 4 z = 2lambda é constante ( l x = lambda y = 4 z = 2lambda e . Parametrizamos com :
Forma paramétrica:

Passo 20

O ponto inicial é e o vetor direção é .

Passo 21

Com esses dados, a reta fica no plano e segue a direção de .

Passo 22

Letra (f):
l y = 3 z = -1

Passo 23

Aqui, tanto quanto são constantes ( , ). Isso significa que a reta é paralela ao eixo .

Passo 24

Parametrizamos com y = 3 z = -1 :
l x = lambda y = 3 z = -1
Forma paramétrica:

Passo 25

O ponto inicial é e o vetor direção é , indicando que a reta segue ao longo do eixo .

Passo 26

Letra (g):
l x = 3 y = -4

Passo 27

Aqui, e são constantes ( , ), então a reta é paralela ao eixo .

Passo 28

Parametrizamos com x = 3 y = -4 :
l x = 3 y = -4 z = lambda
Forma paramétrica:

Passo 29

O ponto inicial é e o vetor direção é , indicando que a reta segue ao longo do eixo .

Passo 30

Finalmente, letra (h):
l x = -3 z = 3

Passo 31

Aqui, e são constantes ( , ), então a reta é paralela ao eixo .

Passo 32

Parametrizamos com x = -3 z = 3 :
l x = -3 y = lambda z = 3
Forma paramétrica:

Passo 33

O ponto inicial é e o vetor direção é , indicando que a reta segue ao longo do eixo .

Resposta

Representamos graficamente todas as retas conforme os sistemas de equações fornecidos, identificando pontos iniciais e vetores direção para cada caso:
  • (a) Reta passa por com vetor direção .
  • (b) Reta passa por com vetor direção .
  • © Reta passa pela origem com vetor direção .
  • (d) Reta no plano passa por com vetor direção .
  • (e) Reta no plano passa por com vetor direção .
  • (f) Reta paralela ao eixo passa por com vetor direção .
  • (g) Reta paralela ao eixo passa por com vetor direção .
  • (h) Reta paralela ao eixo passa por com vetor direção .

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