Representar os monômios
em termos dos polinômios de Legendre
definidos pela função geratriz:
expressos pela fórmula de Rodrigues:
e obedecem as relações de recorrência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para gente expressar os monômios
,
,
,
e
em termos dos polinômios de Legendre
. Para isso, precisamos entender os polinômios de Legendre, que são uma sequência de polinômios ortogonais muito usados em física e matemática, especialmente em expansão de funções em séries. Vamos usar a função geratriz, a fórmula de Rodrigues e as relações de recorrência que foram dadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que os polinômios de Legendre
são definidos pela função geratriz:
Isso nos ajuda a encontrar os primeiros polinômios de Legendre calculando os coeficientes da expansão em série.
Passo 3
Vamos calcular
usando a definição. Quando
:
Isso já serve para expressar o monômio
em termos de
.
Passo 4
Agora, calculamos
. Pelo enunciado, sabemos que:
Então, o monômio
é diretamente
.
Passo 5
Vamos para
. Usando a fórmula de Rodrigues:
Calculando as derivadas, encontramos:
Então, podemos escrever
em termos de
:
Passo 6
Para
, usamos a relação de recorrência:
Substituindo
:
Isolando
:
Substituindo
:
Então, o monômio
é:
Passo 7
Por fim, para
, usamos novamente a relação de recorrência com
:
Isolando
:
Substituindo
e
:
Então, o monômio
é:
Resposta
Os monômios expressos em termos dos polinômios de Legendre
são: