Representar os monômios 1, x, x^2, x^3, x^4 em termos dos polinômios de Legendre Pn(x) definidos pela função geratriz:
1raiz1-2 x t+t^2=sumn=0^infty Pn(x) t^n
expressos pela fórmula de Rodrigues:
Pn(x)=12^n n! d^nd x^n(x^2-1)^n
e obedecem as relações de recorrência:
(n+1) Pn+1(x)=(2 n+1) x Pn(x)-n Pn+1(x), P0(x)=1, P1(x)=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para gente expressar os monômios , , , e em termos dos polinômios de Legendre . Para isso, precisamos entender os polinômios de Legendre, que são uma sequência de polinômios ortogonais muito usados em física e matemática, especialmente em expansão de funções em séries. Vamos usar a função geratriz, a fórmula de Rodrigues e as relações de recorrência que foram dadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que os polinômios de Legendre 1raiz1-2 x t+t^2 = sumn=0^infty Pn(x) t^n são definidos pela função geratriz:
Isso nos ajuda a encontrar os primeiros polinômios de Legendre calculando os coeficientes da expansão em série.

Passo 3

Vamos calcular P0(x) = 1 usando a definição. Quando :
Isso já serve para expressar o monômio em termos de .

Passo 4

Agora, calculamos P1(x) = x . Pelo enunciado, sabemos que:
Então, o monômio é diretamente .

Passo 5

Vamos para P2(x) = 12^2 cdot 2! d^2dx^2(x^2 - 1)^2 . Usando a fórmula de Rodrigues:
P2(x) = 18 cdot 2 cdot (6x^2 - 2) = 3x^2 - 12
Calculando as derivadas, encontramos:
x^2 = 2P2(x) + 13
Então, podemos escrever em termos de :

Passo 6

Para (n+1) Pn+1(x) = (2n+1) x Pn(x) - n Pn-1(x) , usamos a relação de recorrência:
3P3(x) = 5x P2(x) - 2P1(x)
Substituindo P3(x) = 5x P2(x) - 2x3 :
P3(x) = 5x cdot 3x^2 - 12 - 2x3 = 15x^3 - 5x - 4x6 = 15x^3 - 9x6 = 5x^3 - 3x2
Isolando x^3 = 2P3(x) + 3x5 :
Substituindo :
Então, o monômio é:

Passo 7

Por fim, para 4P4(x) = 7x P3(x) - 3P2(x) , usamos novamente a relação de recorrência com P4(x) = 7x P3(x) - 3P2(x)4 :
P4(x) = 7x cdot 5x^3 - 3x2 - 3 cdot 3x^2 - 124 = 35x^4 - 21x^2 - 9x^2 + 324 = 35x^4 - 30x^2 + 38
Isolando x^4 = 8P4(x) + 30x^2 - 335 :
Substituindo e :
Então, o monômio é:

Resposta

Os monômios expressos em termos dos polinômios de Legendre 1 = P0(x) são:
x = P1(x)
x^2 = 2P2(x) + 13
x^3 = 2P3(x) + 3P1(x)5
x^4 = 8P4(x) + 30P2(x) - 3P0(x)35

Exercícios relacionados