Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar graficamente as curvas paramétricas dadas por e , onde é um número real. Para isso, vamos usar conceitos de funções paramétricas e como elas se transformam em gráficos no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter e . Aqui, é o parâmetro que varia sobre todos os números reais ( ). Isso significa que, para cada valor de , a gente calcula um par .

Passo 3

Vamos escolher alguns valores de para ver como os pontos ficam no gráfico. Por exemplo:
  • Se :
    e . Então temos o ponto (-2, 4).
  • Se :
    e . Ponto (-1, 1).
  • Se :
    e . Ponto (0, 0).
  • Se :
    e . Ponto (1, 1).
  • Se :
    e . Ponto (2, 4).

Passo 4

Com esses pontos, podemos começar a desenhar a curva. Notamos que para cada valor de , o valor de é o quadrado de , ou seja, . Isso significa que a curva é uma parábola que abre para cima.

Passo 5

Vamos relacionar e diretamente. Como , podemos substituir em por . Assim, a equação fica:
Isso confirma que a curva é uma parábola padrão no plano .

Resposta

A curva paramétrica , representa a parábola . O gráfico é uma parábola que abre para cima no plano cartesiano.

Exercícios relacionados

Mostre que os limites abaixo não existem.
a)
Calcule para as funções abaixo. Determine os pontos de continuidade.
Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
Seja uma função homogênea satisfazendo para todo com . Mostre que para todo .