Seja
uma função homogênea satisfazendo
para todo
com
. Mostre que
para todo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função chamada
que recebe dois números reais e retorna outro número real. Essa função é homogênea, o que significa que ela tem uma propriedade especial quando escalamos seus argumentos por um fator constante. O enunciado nos diz que
para todos os pares
que estão sobre o círculo unitário, ou seja, onde
. Nosso objetivo é provar que
para qualquer par
que não seja o ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea. Uma função
é homogênea de grau
se, para qualquer número real
, temos:
Isso nos diz como a função se comporta quando escalamos seus argumentos por um fator
.
Passo 3
Sabemos que
para todos
com
. Agora, queremos mostrar que isso vale para qualquer
.
Passo 4
Para qualquer
, podemos escrever
como
, onde
é um número real diferente de zero, e
está no círculo unitário. Isso significa que
e
, e
.
Passo 5
Aplicando a propriedade da homogeneidade da função
:
Mas sabemos que
, então:
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
.
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Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
d) .
d)
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva: