Seja uma função homogênea satisfazendo para todo com . Mostre que para todo .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função chamada que recebe dois números reais e retorna outro número real. Essa função é homogênea, o que significa que ela tem uma propriedade especial quando escalamos seus argumentos por um fator constante. O enunciado nos diz que para todos os pares que estão sobre o círculo unitário, ou seja, onde . Nosso objetivo é provar que para qualquer par que não seja o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea. Uma função é homogênea de grau se, para qualquer número real , temos:
Isso nos diz como a função se comporta quando escalamos seus argumentos por um fator .

Passo 3

Sabemos que para todos com . Agora, queremos mostrar que isso vale para qualquer .

Passo 4

Para qualquer , podemos escrever como , onde é um número real diferente de zero, e está no círculo unitário. Isso significa que e , e .

Passo 5

Aplicando a propriedade da homogeneidade da função :
Mas sabemos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

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Represente as curvas paramétricas por meio de um gráfico:
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Verifique se as funções abaixo são homogêneas. Em caso de resposta positiva, determine o grau de homogeneidade da função.
d) .
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva: