Seja f: R^2 -> R uma função homogênea satisfazendo f(a, b) = 0 para todo (a, b) em R^2 com a^2 + b^2 = 1. Mostre que f(alpha, beta) = 0 para todo (α, β) ∈ R² com (α, β) ≠ (0, 0).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função chamada que recebe dois números reais e retorna outro número real. Essa função é homogênea, o que significa que ela tem uma propriedade especial quando escalamos seus argumentos por um fator constante. O enunciado nos diz que para todos os pares que estão sobre o círculo unitário, ou seja, onde . Nosso objetivo é provar que para qualquer par que não seja o ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea. Uma função é homogênea de grau se, para qualquer número real , temos:
Isso nos diz como a função se comporta quando escalamos seus argumentos por um fator .

Passo 3

Sabemos que para todos com . Agora, queremos mostrar que isso vale para qualquer .

Passo 4

Para qualquer , podemos escrever como , onde é um número real diferente de zero, e está no círculo unitário. Isso significa que e , e .

Passo 5

Aplicando a propriedade da homogeneidade da função :
Mas sabemos que , então:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo .

Exercícios relacionados