Resolva as integrais duplas: integral0^1 integral2^3 x y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é integral0^1 integral2^3 x y^2 , dy , dx. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integrais duplas. Para resolver isso, vamos integrar a função f(x, y) = x y^2 primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração interna, que é em relação a y. A função que vamos integrar é x y^2, e estamos integrando de y = 2 até y = 3. Aqui, x pode ser tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a y.

Passo 3

A integral interna fica assim:
integral2^3 x y^2 , dy
Como x é constante em relação a y, podemos tirar ele de fora da integral:
x integral2^3 y^2 , dy

Passo 4

Agora, vamos integrar y^2 em relação a y. A integral de y^2 é:
y^33
Então, substituindo os limites de 2 a 3:
x [ 3^33 - 2^33 ] = x [ 273 - 83 ] = x [ 193 ] = 193 x

Passo 5

Agora que temos o resultado da integral interna, vamos integrar em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 193 x , dx
A constante 193 pode ser tirada para fora da integral:
193 integral0^1 x , dx

Passo 6

Integrando x em relação a x, temos:
x^22
Substituindo os limites de 0 a 1:
193 [ 1^22 - 0^22 ] = 193 [ 12 ] = 196

Resposta

O valor da integral dupla é 196.

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