Represente geometricamente o campo vetorial dado por .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido por . Nosso objetivo é representar geometricamente esse campo vetorial. Para isso, precisamos saber o que é um campo vetorial e como representar vetores no plano.

Passo 2

Um campo vetorial é uma atribuição de um vetor a cada ponto de um espaço. No caso, nosso espaço é o plano , e para cada ponto , temos um vetor . Esse vetor possui componentes na direção (eixo x) e na direção (eixo y).

Passo 3

Para representar o campo vetorial geometricamente, vamos seguir estes passos:
  1. Escolher pontos no plano .
  2. Calcular o vetor em cada ponto escolhido.
  3. Desenhar o vetor a partir de cada ponto, utilizando as componentes calculadas.

Passo 4

Vamos calcular alguns exemplos:
  • Em : . Este vetor aponta para cima e para a direita.
  • Em : . Este vetor aponta para baixo e para a esquerda.
  • Em : . Este vetor aponta apenas para a direita.

Passo 5

Observando os vetores calculados, percebemos que:
  • Os vetores apontam na direção do ponto .
  • A magnitude do vetor aumenta conforme nos afastamos da origem.
  • O campo é simétrico em relação aos eixos e .

Resposta

O campo vetorial é representado geometricamente por vetores que, em cada ponto do plano, apontam na direção desse ponto com magnitude proporcional à distância da origem. Isso resulta em vetores que se afastam radialmente da origem, formando um padrão de expansão uniforme no plano.

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