Represente graficamente a solução das inequações: x^2 - 2x + y^2 + 4y + 1 >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação juntos! A gente tem a seguinte inequação para representar graficamente:
Aqui, estamos lidando com geometria analítica, mais especificamente com inequações envolvendo e . Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado nos termos de e para identificar a forma geométrica e depois determinar a região que satisfaz essa inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado para os termos de . Temos:
Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de :
Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Adicionamos e subtraímos esse valor:

Passo 4

Substituindo essas expressões de volta na inequação original:
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Vamos isolar os termos quadráticos:
Essa inequação representa todos os pontos cuja distância ao ponto é maior ou igual a , porque é o quadrado de .

Passo 6

Agora, vamos identificar a forma geométrica. A equação:
representa um círculo com centro no ponto e raio .

Passo 7

A inequação:
significa que estamos interessados na região que está fora ou na fronteira desse círculo.

Passo 8

Para representar graficamente a solução:
  1. Desenhe um círculo com centro em e raio .
  2. A região de solução será todo o plano fora desse círculo, incluindo o próprio círculo.

Resposta

A solução da inequação é a região do plano que está fora ou na fronteira do círculo com centro em e raio . Para representar graficamente, desenhe esse círculo e destaque toda a área exterior a ele, incluindo o próprio círculo.

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