Resolva os limites abaixo, exibindo todos os seus cálculos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e usar algo chamado Teorema do Sanduíche (ou Teorema de Aperfeiçoamento).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
Isso é importante porque nos dá uma maneira de “encapsular” a nossa função dentro de limites conhecidos.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade pela parte que está junto do seno, que é
. Mas precisamos ter cuidado: como
está se aproximando de 0, vamos considerar que
é pequeno e positivo (o raciocínio é similar para negativo):
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece com os limites das duas extremidades quando
se aproxima de 0:
Isso porque tanto
quanto
vão para 0 quando
vai para 0.
Passo 5
Segundo o Teorema do Sanduíche, se a nossa função está “presa” entre duas funções que ambas têm o mesmo limite, então a nossa função também tem esse limite. Como ambas as extremidades vão para 0, então:
Resposta
O limite é 0.