Resolva os limites abaixo, exibindo todos os seus cálculos.
lim x 0(3 x+x^2) sen(1x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0(3 x + x^2) sin(1x^2)
Aqui, estamos trabalhando com limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e usar algo chamado Teorema do Sanduíche (ou Teorema de Aperfeiçoamento).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= sin(1x^2) <= 1
Isso é importante porque nos dá uma maneira de “encapsular” a nossa função dentro de limites conhecidos.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade pela parte que está junto do seno, que é - (3x + x^2) <= (3x + x^2) sin(1x^2) <= 3x + x^2 . Mas precisamos ter cuidado: como está se aproximando de 0, vamos considerar que é pequeno e positivo (o raciocínio é similar para negativo):

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece com os limites das duas extremidades quando limx to 0 - (3x + x^2) = 0 limx to 0 3x + x^2 = 0 se aproxima de 0:
Isso porque tanto quanto vão para 0 quando vai para 0.

Passo 5

Segundo o Teorema do Sanduíche, se a nossa função está “presa” entre duas funções que ambas têm o mesmo limite, então a nossa função também tem esse limite. Como ambas as extremidades vão para 0, então:
lim x 0(3 x + x^2) sin(1x^2) = 0

Resposta

O limite é 0.

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