Resolva os limites abaixo, exibindo todos os seus cálculos.
lim x 1^+ 3 x^2-41-x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, mais especificamente, ao comportamento de funções racionais quando a variável se aproxima de um ponto específico. Para resolver, vamos precisar entender como avaliar limites de funções que resultam em formas indeterminadas e como analisar o comportamento da função ao se aproximar do ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 3(1)^2 - 41 - (1)^2 = 3(1) - 41 - 1 = 3 - 40 = -10 na expressão para ver o que acontece:
Aqui, ao substituir , o denominador se aproxima de 0, o que indica que estamos diante de uma forma indeterminada do tipo úã.

Passo 3

Quando o denominador de uma fração se aproxima de 0, precisamos analisar o sinal do denominador e do numerador para determinar o comportamento do limite. Além disso, como o limite é lateral pela direita ( ), consideramos valores de maiores que 1, muito próximos de 1.

Passo 4

Vamos analisar os sinais do numerador e do denominador quando 3(1^+)^2 - 4 = 3(1) - 4 = -1 se aproxima de 1 pela direita:
  • Numerador ( 1 - (1^+)^2 = 1 - (1 + epsilon)^2 = 1 - (1 + 2epsilon + epsilon^2) = -2epsilon - epsilon^2 ):
    O numerador se aproxima de , que é negativo.
  • Denominador ( ):
    Onde é um número muito pequeno e positivo ( ). Portanto, o denominador se aproxima de um número negativo, já que .

Passo 5

Agora, temos que o numerador está se aproximando de um valor negativo e o denominador também está se aproximando de um valor negativo. A divisão de dois números negativos resulta em um número positivo. Além disso, à medida que o denominador se aproxima de zero, o valor absoluto da fração cresce sem limite.

Passo 6

Portanto, combinando essas observações, concluímos que o limite tende ao infinito positivo.

Resposta

lim x 1^+ 3 x^2-41-x^2 = +infty

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