Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta quer que a gente represente essa função utilizando uma integral de seno ou uma integral de cosseno adequada. Isso está relacionado à análise de Fourier, que é uma maneira de expressar funções em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformada de Fourier. Ela permite que a gente represente uma função
como uma combinação contínua de senos e cossenos. A transformada de Fourier de
é dada por:
Aqui,
, o que mostra a conexão com senos e cossenos.
Passo 3
No nosso caso, queremos representar
usando apenas uma integral de seno ou de cosseno. Vamos optar pela transformada de Fourier cosseno, que é apropriada para funções pares (ou seja,
), como é o nosso caso.
A transformada de Fourier cosseno é dada por:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função
. Como
é zero fora de
, podemos limitar os limites da integral de 1 a 2:
Aqui, substituímos
por
no intervalo de 1 a 2.
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de
de 1 a 2:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A representação da função
por uma integral de cosseno adequada é:
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a) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -5.317ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“24.701ex” height=“11.765ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -2850 10917.7 5200”><title>f(x) = { 0, se x < -1; -5, se 1 < x < 0; 5, se 0 < x < 1; 0, se x > 1 }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 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data-c=“3E” d=“M84 520Q84 528 88 533T96 539L99 540Q106 540 253 471T544 334L687 265Q694 260 694 250T687 235Q685 233 395 96L107 -40H101Q83 -38 83 -20Q83 -19 83 -17Q82 -10 98 -1Q117 9 248 71Q326 108 378 132L626 250L378 368Q90 504 86 509Q84 513 84 520Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1905.6,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(7684.1,0) translate(0 250)”></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
Usando a representação integral de Fourier, mostre que:
b)
b)
<html><head></head><body><div>Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.<br>
c) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -2.148ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“24.342ex” height=“5.428ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1449.5 10759.1 2399”><title>f(x) = { |x|, se |x| < pi; 0, se |x| > pi }</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 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</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine as representações da função por uma integral cosseno e uma integral seno.<br>
d) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“25.887ex” height=“2.32ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -775.2 11442 1025.2”><title>f(x) = e^(-x) cos(x), x > 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 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