Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta quer que a gente represente essa função utilizando uma integral de seno ou uma integral de cosseno adequada. Isso está relacionado à análise de Fourier, que é uma maneira de expressar funções em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformada de Fourier. Ela permite que a gente represente uma função como uma combinação contínua de senos e cossenos. A transformada de Fourier de é dada por:
Aqui, , o que mostra a conexão com senos e cossenos.
Passo 3
No nosso caso, queremos representar usando apenas uma integral de seno ou de cosseno. Vamos optar pela transformada de Fourier cosseno, que é apropriada para funções pares (ou seja, ), como é o nosso caso.
A transformada de Fourier cosseno é dada por:
Passo 4
Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Como é zero fora de , podemos limitar os limites da integral de 1 a 2:
Aqui, substituímos por no intervalo de 1 a 2.
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos tirar a constante para fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral de de 1 a 2:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para :
Resposta
A representação da função por uma integral de cosseno adequada é: