Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
b) f(x) = { 0, se |x| < 1; π, se 1 < |x| < 2; 0, se |x| > 2 }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta quer que a gente represente essa função utilizando uma integral de seno ou uma integral de cosseno adequada. Isso está relacionado à análise de Fourier, que é uma maneira de expressar funções em termos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformada de Fourier. Ela permite que a gente represente uma função como uma combinação contínua de senos e cossenos. A transformada de Fourier de é dada por:
Aqui, , o que mostra a conexão com senos e cossenos.

Passo 3

No nosso caso, queremos representar usando apenas uma integral de seno ou de cosseno. Vamos optar pela transformada de Fourier cosseno, que é apropriada para funções pares (ou seja, ), como é o nosso caso.
A transformada de Fourier cosseno é dada por:

Passo 4

Agora, vamos aplicar essa fórmula à nossa função . Como é zero fora de , podemos limitar os limites da integral de 1 a 2:
Aqui, substituímos por no intervalo de 1 a 2.

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral de de 1 a 2:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

A representação da função por uma integral de cosseno adequada é:

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