Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos a função
usando uma integral de cosseno ou seno apropriada. A função dada é:
Vamos precisar usar séries de Fourier, que decompõem funções periódicas em somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, note que
é uma função par, já que
é par (
). Isso significa que na série de Fourier, teremos apenas termos de cosseno.
Passo 3
A série de Fourier para uma função par
no intervalo
é dada por:
Aqui,
, então nossa série fica:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
e
.
Para
:
Resolvendo a integral:
Passo 5
Para
:
Vamos integrar por partes, onde
e
. Então,
e
.
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Resolvendo:
Sabemos que
e
, então:
Passo 6
Substituindo
e
na série de Fourier, temos:
Resposta
A representação de
pela série de Fourier em cossenos é: