Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
c) f(x) = { |x|, se |x| < pi; 0, se |x| > pi }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para representarmos a função usando uma integral de cosseno ou seno apropriada. A função dada é:
Vamos precisar usar séries de Fourier, que decompõem funções periódicas em somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, note que é uma função par, já que é par ( ). Isso significa que na série de Fourier, teremos apenas termos de cosseno.

Passo 3

A série de Fourier para uma função par no intervalo é dada por:
Aqui, , então nossa série fica:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes e .
Para :
Resolvendo a integral:

Passo 5

Para :
Vamos integrar por partes, onde e . Então, e .
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Resolvendo:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Substituindo e na série de Fourier, temos:

Resposta

A representação de pela série de Fourier em cossenos é:

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