Represente por uma integral cosseno ou uma integral seno adequada.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para representar a função como uma integral que envolva seno ou cosseno. A função dada é uma função por partes, e para isso, vamos usar conceitos de integrais envolvendo funções trigonométricas. Vamos precisar conhecer um pouco sobre integrais definidas e as propriedades das funções seno e cosseno para essa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . Ela é definida por partes assim:
Isso significa que é zero fora do intervalo , e dentro desse intervalo, ela assume valores constantes de e .
Passo 3
Para representar como uma integral de seno ou cosseno, vamos usar a ideia de que funções por partes podem ser expressas como integrais de funções trigonométricas. Uma abordagem comum é usar séries de Fourier, que decompõem funções periódicas em uma soma de senos e cossenos. No nosso caso, vamos adaptar isso para uma integral.
Passo 4
Vamos focar na representação com seno. A função tem uma simetria ímpar (pois ), então podemos representá-la usando apenas senos. A fórmula geral para a representação de uma função ímpar usando integrais de seno é:
onde é a função que nos ajuda a ajustar a amplitude de cada componente de seno para que, quando integradas, formem a função .
Passo 5
Para encontrar , usamos a fórmula de Fourier para funções ímpares:
Substituindo pela função dada:
Mas, como estamos integrando uma função ímpar, o termo de a será cancelado pelo termo de a , simplificando para:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expressão da integral:
Essa é a representação da função como uma integral de senos adequada.
Resposta
A função pode ser representada pela integral de seno: