Represente os seguintes números (que estão em base 10) em ponto flutuante de base binária, sendo t o tamanho da mantissa, e expoente e in[emin , emax ]. Use truncamento.
x=3^20, t=5, e in[-40,40]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de representação de números em ponto flutuante binário. Aqui, temos que representar o número em base 10 para a forma binária de ponto flutuante, com uma mantissa de tamanho e um expoente que varia entre e . Para isso, vamos precisar entender como funciona a representação em ponto flutuante, que envolve separar o número em mantissa e expoente, e como converter números de base 10 para binário usando truncamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de 3^20 = 3 times 3 times dots times 3 (20 vezes) = 3,486,784,401 . Isso é simplesmente elevar 3 à 20ª potência:

Passo 3

Agora, precisamos converter esse número para a forma binária. A representação em ponto flutuante binário segue a fórmula:
x = pm 1m times 2^e
onde é a mantissa e é o expoente. Primeiro, convertemos para binário.
Para simplificar, vamos encontrar uma aproximação binária de . No entanto, como estamos usando truncamento e uma mantissa de apenas 5 bits, vamos focar nos bits mais significativos.

Passo 4

Vamos normalizar o número binário. A normalização envolve ajustar a mantissa para que ela esteja entre 1 e 2 (no caso binário, isso significa que a mantissa começa com 1). Supondo que a representação binária de x approx 1XXXXXXXX times 2^e seja algo como:
1mmmm
Como estamos usando uma mantissa de 5 bits, vamos truncar após os primeiros 5 bits:
onde cada “m” representa um bit da mantissa.

Passo 5

Determinar o expoente x = 1m times 2^e . Sabemos que deve ser tal que:
Como truncamos a mantissa para 5 bits, calculamos o expoente necessário para aproximar .
Após os cálculos, encontramos que o expoente que melhor se ajusta dentro do intervalo é .

Resposta

A representação em ponto flutuante binário de 1.1010 times 2^31 com uma mantissa de 5 bits e expoente no intervalo é:

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