Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em P1 e extremidade em P2. A seguir determine seu módulo e seu versor.
c) P1(3,-5) e P2(0,0)
3. Determine os escalares c1 e c2 tais que c1(2,-1)+c2(-1,-1)=(5,-1).
4. Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante 24 raiz3 m, em 4 s . Sabemos que o vento na região tem rapidez 3 m / s e aponta na direção N. Determine com que direção e rapidez deve ser lançado o projétil para que o lançamento tenha sucesso.
5. Determine a cdot b.
a) a=(1,2) e b=(-1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma série de exercícios envolvendo vetores e operações com eles. A gente vai precisar usar coordenadas cartesianas, calcular módulo de vetores, encontrar versores, resolver sistemas lineares e trabalhar com produtos escalares. Vamos dar uma olhada em cada questão passo a passo!

Passo 2

2.c) Representar o vetor e determinar seu módulo e versor

Primeiro, vamos representar o vetor que vai de até no sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 3

Para encontrar as componentes do vetor, subtraímos as coordenadas de v = P2 - P1 = (0 - 3, 0 - (-5)) = (-3, 5) das de :
Então, o vetor é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo do vetor, que é o comprimento do vetor. A fórmula para o módulo é:
|v| = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores:
|v| = raiz(-3)^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34

Passo 5

Por fim, o versor do vetor é um vetor com o mesmo sentido que v = ( -3raiz34, 5raiz34 ) mas com módulo igual a 1. Para encontrar o versor, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:

Passo 6

Agora, vamos para a questão 3: determinar os escalares e tais que . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.

Passo 7

Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes às componentes:
2c1 - c2 = 5 (1)
-1c1 -1c2 = -1 (2)

Passo 8

Vamos resolver o sistema. Da equação (2), podemos expressar - c1 - c2 = -1 Rightarrow c1 = -c2 + 1 em termos de 2(-c2 + 1) - c2 = 5 :
-2c2 + 2 - c2 = 5
Agora, substituímos -3c2 + 2 = 5 na equação (1):
-3c2 = 3 Rightarrow c2 = -1

Passo 9

Substituindo c1 = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2 na expressão para :

Passo 10

Vamos para a questão 4: um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante metros, em 4 segundos. O vento tem rapidez de 3 m/s na direção N. Precisamos determinar a direção e rapidez com que o projétil deve ser lançado para atingir o alvo com sucesso.

Passo 11

Primeiro, vamos entender as direções: N60L significa 60 graus a oeste da direção norte, ou seja, a direção está entre norte e oeste. Precisamos considerar o efeito do vento no movimento do projétil.

Passo 12

Vamos decompor as velocidades:
  • Velocidade do projétil (a ser encontrada): vr = 24raiz34 = 6raiz3 m/s na direção N60L
  • Velocidade do vento: m/s (aponta para o norte)
  • Velocidade resultante necessária para o alvo: distância m em 4 s, então:
çã

Passo 13

A direção N60L pode ser decomposta em componentes:
theta = 60^circ
vrx = 6raiz3 cos(60^circ) = 6raiz3 times 0.5 = 3raiz3
vry = 6raiz3 sin(60^circ) = 6raiz3 times raiz32 = 9

Passo 14

A velocidade resultante é a soma da velocidade do projétil e a do vento:
vr = vp + vw
(3raiz3, 9) = (vx, vy) + (0, 3)
Portanto:
vx = 3raiz3
vy + 3 = 9 Rightarrow vy = 6

Passo 15

Agora, calculamos a rapidez do projétil:
|vp| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(3raiz3)^2 + 6^2 = raiz27 + 36 = raiz63 = 3raiz7 m/s
A direção pode ser calculada pela tangente:
tan(alpha) = vyvx = 63raiz3 = 2raiz3 Rightarrow alpha = 60^circ
Então, a direção é N60L.

Passo 16

Por fim, vamos para a questão 5.a: determinar o produto escalar de e .

Passo 17

O produto escalar de dois vetores a cdot b = ax bx + ay by e é dado por:

Passo 18

Aplicando os valores:
a cdot b = (1)(-1) + (2)(3) = -1 + 6 = 5

Resposta

O produto escalar é igual a 5.

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