Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em e extremidade em . A seguir determine seu módulo e seu versor.
c) e
3. Determine os escalares e tais que .
4. Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante , em 4 s . Sabemos que o vento na região tem rapidez e aponta na direção N. Determine com que direção e rapidez deve ser lançado o projétil para que o lançamento tenha sucesso.
5. Determine .
a) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver uma série de exercícios envolvendo vetores e operações com eles. A gente vai precisar usar coordenadas cartesianas, calcular módulo de vetores, encontrar versores, resolver sistemas lineares e trabalhar com produtos escalares. Vamos dar uma olhada em cada questão passo a passo!

Passo 2

2.c) Representar o vetor e determinar seu módulo e versor

Primeiro, vamos representar o vetor que vai de até no sistema de coordenadas cartesianas.

Passo 3

Para encontrar as componentes do vetor, subtraímos as coordenadas de das de :
Então, o vetor é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo do vetor, que é o comprimento do vetor. A fórmula para o módulo é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Por fim, o versor do vetor é um vetor com o mesmo sentido que mas com módulo igual a 1. Para encontrar o versor, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:

Passo 6

Agora, vamos para a questão 3: determinar os escalares e tais que . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.

Passo 7

Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes às componentes:

Passo 8

Vamos resolver o sistema. Da equação (2), podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos na equação (1):

Passo 9

Substituindo na expressão para :

Passo 10

Vamos para a questão 4: um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante metros, em 4 segundos. O vento tem rapidez de 3 m/s na direção N. Precisamos determinar a direção e rapidez com que o projétil deve ser lançado para atingir o alvo com sucesso.

Passo 11

Primeiro, vamos entender as direções: N60L significa 60 graus a oeste da direção norte, ou seja, a direção está entre norte e oeste. Precisamos considerar o efeito do vento no movimento do projétil.

Passo 12

Vamos decompor as velocidades:
  • Velocidade do projétil (a ser encontrada):
  • Velocidade do vento: m/s (aponta para o norte)
  • Velocidade resultante necessária para o alvo: distância m em 4 s, então:
çã

Passo 13

A direção N60L pode ser decomposta em componentes:

Passo 14

A velocidade resultante é a soma da velocidade do projétil e a do vento:
Portanto:

Passo 15

Agora, calculamos a rapidez do projétil:
A direção pode ser calculada pela tangente:
Então, a direção é N60L.

Passo 16

Por fim, vamos para a questão 5.a: determinar o produto escalar de e .

Passo 17

O produto escalar de dois vetores e é dado por:

Passo 18

Aplicando os valores:

Resposta

O produto escalar é igual a 5.

Exercícios relacionados

(UFPA-1997)Um grupo de alunos da AMAZÔNIA DIGITAL, programou uma viagem que custaria no total
R $ 900,00. algumas semanas antes da partida duas pessoas se juntaram ao grupo, e cada participante pagou R a menos. O número de pessoas que inicialmente faria a viagem era:
a) 9
b) 4
c) 13
d) 7
e) 15
Resolver os seguintes sistemas de Cramer:
(FGV) A quantia de R foi distribuída entre 4 pessoas do seguinte modo: a segunda recebeu a metade da primeira; a terceira recebeu a metade da soma da primeira com a segunda; e a quarta a metade da terceira. Quanto recebeu a segunda pessoa?
a)
b)

c)
d)
e)
Calcular nos seguintes casos: