Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em
e extremidade em
. A seguir determine seu módulo e seu versor.
c)
e
3. Determine os escalares
e
tais que
.
4. Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante
, em 4 s . Sabemos que o vento na região tem rapidez
e aponta na direção N. Determine com que direção e rapidez deve ser lançado o projétil para que o lançamento tenha sucesso.
5. Determine
.
a)
e
c)
3. Determine os escalares
4. Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante
5. Determine
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma série de exercícios envolvendo vetores e operações com eles. A gente vai precisar usar coordenadas cartesianas, calcular módulo de vetores, encontrar versores, resolver sistemas lineares e trabalhar com produtos escalares. Vamos dar uma olhada em cada questão passo a passo!
Passo 2
2.c) Representar o vetor e determinar seu módulo e versor
Primeiro, vamos representar o vetor que vai de
até
no sistema de coordenadas cartesianas.
Passo 3
Para encontrar as componentes do vetor, subtraímos as coordenadas de
das de
:
Então, o vetor é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo do vetor, que é o comprimento do vetor. A fórmula para o módulo é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, o versor do vetor é um vetor com o mesmo sentido que
mas com módulo igual a 1. Para encontrar o versor, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
Passo 6
Agora, vamos para a questão 3: determinar os escalares
e
tais que
. Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.
Passo 7
Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes às componentes:
Passo 8
Vamos resolver o sistema. Da equação (2), podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
na equação (1):
Passo 9
Substituindo
na expressão para
:
Passo 10
Vamos para a questão 4: um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante
metros, em 4 segundos. O vento tem rapidez de 3 m/s na direção N. Precisamos determinar a direção e rapidez com que o projétil deve ser lançado para atingir o alvo com sucesso.
Passo 11
Primeiro, vamos entender as direções: N60L significa 60 graus a oeste da direção norte, ou seja, a direção está entre norte e oeste. Precisamos considerar o efeito do vento no movimento do projétil.
Passo 12
Vamos decompor as velocidades:
- Velocidade do projétil (a ser encontrada):
- Velocidade do vento:
m/s (aponta para o norte) - Velocidade resultante necessária para o alvo: distância
m em 4 s, então:
Passo 13
A direção N60L pode ser decomposta em componentes:
Passo 14
A velocidade resultante é a soma da velocidade do projétil e a do vento:
Portanto:
Passo 15
Agora, calculamos a rapidez do projétil:
A direção pode ser calculada pela tangente:
Então, a direção é N60L.
Passo 16
Por fim, vamos para a questão 5.a: determinar o produto escalar de
e
.
Passo 17
O produto escalar de dois vetores
e
é dado por:
Passo 18
Aplicando os valores:
Resposta
O produto escalar
é igual a 5.