Represente no sistema de coordenadas cartesianas no plano o vetor com origem em e extremidade em . A seguir determine seu módulo e seu versor.
c) e
3. Determine os escalares e tais que .
4. Um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante , em 4 s . Sabemos que o vento na região tem rapidez e aponta na direção N. Determine com que direção e rapidez deve ser lançado o projétil para que o lançamento tenha sucesso.
5. Determine .
a) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver uma série de exercícios envolvendo vetores e operações com eles. A gente vai precisar usar coordenadas cartesianas, calcular módulo de vetores, encontrar versores, resolver sistemas lineares e trabalhar com produtos escalares. Vamos dar uma olhada em cada questão passo a passo!
Passo 2
2.c) Representar o vetor e determinar seu módulo e versor
Primeiro, vamos representar o vetor que vai de até no sistema de coordenadas cartesianas.
Passo 3
Para encontrar as componentes do vetor, subtraímos as coordenadas de das de :
Então, o vetor é .
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo do vetor, que é o comprimento do vetor. A fórmula para o módulo é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Por fim, o versor do vetor é um vetor com o mesmo sentido que mas com módulo igual a 1. Para encontrar o versor, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo:
Passo 6
Agora, vamos para a questão 3: determinar os escalares e tais que . Isso envolve resolver um sistema de equações lineares.
Passo 7
Primeiro, vamos escrever as equações correspondentes às componentes:
Passo 8
Vamos resolver o sistema. Da equação (2), podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos na equação (1):
Passo 9
Substituindo na expressão para :
Passo 10
Vamos para a questão 4: um projétil deve atingir um alvo na direção N60L, distante metros, em 4 segundos. O vento tem rapidez de 3 m/s na direção N. Precisamos determinar a direção e rapidez com que o projétil deve ser lançado para atingir o alvo com sucesso.
Passo 11
Primeiro, vamos entender as direções: N60L significa 60 graus a oeste da direção norte, ou seja, a direção está entre norte e oeste. Precisamos considerar o efeito do vento no movimento do projétil.
Passo 12
Vamos decompor as velocidades:
Velocidade do projétil (a ser encontrada):
Velocidade do vento: m/s (aponta para o norte)
Velocidade resultante necessária para o alvo: distância m em 4 s, então:
Passo 13
A direção N60L pode ser decomposta em componentes:
Passo 14
A velocidade resultante é a soma da velocidade do projétil e a do vento:
Portanto:
Passo 15
Agora, calculamos a rapidez do projétil:
A direção pode ser calculada pela tangente:
Então, a direção é N60L.
Passo 16
Por fim, vamos para a questão 5.a: determinar o produto escalar de e .