Resolver os seguintes sistemas de Cramer:
l x+y+z=2 x-y+z=0 y+2 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer! A gente tem três equações com três incógnitas (x, y e z). Para aplicar a Regra de Cramer, vamos precisar calcular alguns determinantes de matrizes. Basicamente, determinantes ajudam a gente a resolver sistemas lineares de forma direta quando a gente tem o número certo de equações e incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações. No nosso caso, fica assim:
A = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 0 & 1 & 2
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz, que chamaremos de a & b & c d & e & f g & h & i . O determinante de uma matriz 3x3 D = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é calculado por:
D = 1 times ((-1 times 2) - (1 times 1)) - 1 times (1 times 2 - 1 times 0) + 1 times (1 times 1 - (-1) times 0) D = 1 times (-2 - 1) - 1 times (2 - 0) + 1 times (1 - 0) D = 1 times (-3) - 1 times 2 + 1 times 1 D = -3 - 2 + 1 D = -4
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante Ax = 2 & 1 & 1 0 & -1 & 1 0 & 1 & 2 , que é a matriz Dx = 2 times ((-1 times 2) - (1 times 1)) - 1 times (0 times 2 - 1 times 0) + 1 times (0 times 1 - (-1) times 0) Dx = 2 times (-2 - 1) - 1 times (0 - 0) + 1 times (0 - 0) Dx = 2 times (-3) - 0 + 0 Dx = -6 mas substituindo a coluna de pelos termos constantes do sistema (2, 0, 0). Então:
Calculando o determinante :

Passo 4

Vamos fazer o mesmo para Ay = 1 & 2 & 1 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 , substituindo a coluna de Dy = 1 times (0 times 2 - 1 times 0) - 2 times (1 times 2 - 1 times 0) + 1 times (1 times 0 - 0 times 0) Dy = 1 times (0 - 0) - 2 times (2 - 0) + 1 times (0 - 0) Dy = 0 - 4 + 0 Dy = -4 pelos termos constantes:
Calculando :

Passo 5

Por último, vamos calcular Az = 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 , substituindo a coluna de Dz = 1 times ((-1 times 0) - (0 times 1)) - 1 times (1 times 0 - 0 times 0) + 2 times (1 times 1 - (-1) times 0) Dz = 1 times (0 - 0) - 1 times (0 - 0) + 2 times (1 - 0) Dz = 0 - 0 + 2 Dz = 2 :
Calculando :

Resposta

Agora, usando a Regra de Cramer:
x = DxD = -6-4 = 32 y = DyD = -4-4 = 1 z = DzD = 2-4 = -12
Então, a solução do sistema é:

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